\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}-x^{2}+2}{2 x^{4}+x^{3}-4 x^{2}+x-3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a infinito:
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}-x^{2}+2}{2 x^{4}+x^{3}-4 x^{2}+x-3}.
Informações dadas explicitamente:
  • Numerador: x^{3}-x^{2}+2.
  • Denominador: 2 x^{4}+x^{3}-4 x^{2}+x-3.
  • Estamos interessados no comportamento quando x\to\infty.

Passo 2

Estratégia e ideia que vou usar (explicada de forma didática):
  • Para limites do tipo “função racional” (quociente de polinômios) quando x\to\infty, o que importa é o grau dos polinômios (o maior expoente de x).
  • Regra prática:
    • Se o grau do numerador é menor que o grau do denominador, o limite é 0.
    • Se os graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
    • Se o grau do numerador é maior que o grau do denominador, o limite é \pm\infty (dependendo dos sinais).
  • Para justificar essa regra de maneira segura numa prova sem apelar só para “memória”, dividimos numerador e denominador pela maior potência de x presente no denominador (a maior potência total entre os dois polinômios). Assim transformamos a expressão em termos de potências negativas de x, que vão a zero quando x\to\infty.

Passo 3

Identificação dos graus:
  • Grau do numerador: 3 (maior expoente em x^{3}-x^{2}+2 é 3).
  • Grau do denominador: 4 (maior expoente em 2 x^{4}+x^{3}-4 x^{2}+x-3 é 4).
    Como o grau do numerador ( 3) é menor que o do denominador ( 4), pela regra prática esperamos que o limite seja 0. Agora vou mostrar o cálculo detalhado dividindo por x^{4}.

Passo 4

Dividir numerador e denominador por x^{4} (a maior potência presente no denominador):
\frac{x^{3}-x^{2}+2}{2 x^{4}+x^{3}-4 x^{2}+x-3} = \frac{\dfrac{x^{3}}{x^{4}}-\dfrac{x^{2}}{x^{4}}+\dfrac{2}{x^{4}}}{\dfrac{2x^{4}}{x^{4}}+\dfrac{x^{3}}{x^{4}}-\dfrac{4x^{2}}{x^{4}}+\dfrac{x}{x^{4}}-\dfrac{3}{x^{4}}}.
Simplificando cada termo:
= \frac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{4}}}{2+\dfrac{1}{x}-\dfrac{4}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}-\dfrac{3}{x^{4}}}.

Passo 5

Comportamento dos termos individuais quando x\to\infty:
  • Para qualquer inteiro k>0 vale \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{k}}=0. Intuição: conforme x cresce sem limite, x^{k} fica enorme e o inverso fica cada vez menor; por exemplo \frac{1}{100}=0,01, \frac{1}{1000}=0,001, etc.
  • Assim cada termo com 1/x, 1/x^{2}, 1/x^{3}, 1/x^{4} tende a 0 quando x\to\infty.

Passo 6

Aplicando os limites termo a termo (relembrando que isso é válido porque os limites dos termos existem e o limite do denominador final será diferente de zero):
\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{4}}}{2+\dfrac{1}{x}-\dfrac{4}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}-\dfrac{3}{x^{4}}} = \frac{0-0+0}{2+0-0+0-0} = \frac{0}{2} = 0.
Observação importante: o denominador tende para 2, que é diferente de zero, então não há problema em calcular o quociente dos limites.

Passo 7

Interpretação e resumo didático:
  • Como o grau do numerador ( 3) é menor que o do denominador ( 4), o limite é 0. A divisão por x^{4} mostrou isso de forma explícita: todos os termos do numerador tornaram-se termos que vão a zero, enquanto o denominador tende a 2.
  • Dica rápida para prova: em problemas semelhantes, identifique logo os graus; se numerador tiver grau menor, responda 0 e, se quiser justificar, faça a divisão pela maior potência de x como fiz aqui.

Passo 8

Exemplo extra para reforçar (prática rápida):
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}+1}{5x^{5}-2}=0 porque grau do numerador 2 é menor que grau do denominador 5.
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{4x^{3}-1}{2x^{3}+7}=\frac{4}{2}=2 porque os graus são iguais; o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.

Resposta

0

Exercícios relacionados