Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a infinito:
Informações dadas explicitamente:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Estamos interessados no comportamento quando
.
Passo 2
Estratégia e ideia que vou usar (explicada de forma didática):
- Para limites do tipo “função racional” (quociente de polinômios) quando
, o que importa é o grau dos polinômios (o maior expoente de ). - Regra prática:
- Se o grau do numerador é menor que o grau do denominador, o limite é
. - Se os graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
- Se o grau do numerador é maior que o grau do denominador, o limite é
(dependendo dos sinais).
- Se o grau do numerador é menor que o grau do denominador, o limite é
- Para justificar essa regra de maneira segura numa prova sem apelar só para “memória”, dividimos numerador e denominador pela maior potência de
presente no denominador (a maior potência total entre os dois polinômios). Assim transformamos a expressão em termos de potências negativas de , que vão a zero quando .
Passo 3
Identificação dos graus:
- Grau do numerador:
(maior expoente em é ). - Grau do denominador:
(maior expoente em é ).
Como o grau do numerador () é menor que o do denominador ( ), pela regra prática esperamos que o limite seja . Agora vou mostrar o cálculo detalhado dividindo por .
Passo 4
Dividir numerador e denominador por
(a maior potência presente no denominador):
Simplificando cada termo:
Passo 5
Comportamento dos termos individuais quando
:
- Para qualquer inteiro
vale . Intuição: conforme cresce sem limite, fica enorme e o inverso fica cada vez menor; por exemplo , , etc. - Assim cada termo com
, , , tende a quando .
Passo 6
Aplicando os limites termo a termo (relembrando que isso é válido porque os limites dos termos existem e o limite do denominador final será diferente de zero):
Observação importante: o denominador tende para
, que é diferente de zero, então não há problema em calcular o quociente dos limites.
Passo 7
Interpretação e resumo didático:
- Como o grau do numerador (
) é menor que o do denominador ( ), o limite é . A divisão por mostrou isso de forma explícita: todos os termos do numerador tornaram-se termos que vão a zero, enquanto o denominador tende a . - Dica rápida para prova: em problemas semelhantes, identifique logo os graus; se numerador tiver grau menor, responda
e, se quiser justificar, faça a divisão pela maior potência de como fiz aqui.
Passo 8
Exemplo extra para reforçar (prática rápida):
-
porque grau do numerador é menor que grau do denominador . -
porque os graus são iguais; o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.