Considere a função
e classifique as seguintes sentenças em verdadeira ou falsa, justificando as suas respostas:
no intervalo (
)
Passo 1
O enunciado pede para classificar a sentença "
no intervalo
". As informações dadas:
- A função é
. - O intervalo considerado é
(aberto, ou seja, não inclui os pontos e ).
Passo 2
Lembretes úteis sobre sinais (coisa de “sinalzinho” que aparece muito em prova):
- Se
então . Em geral, o sinal de é o mesmo sinal de . - Para
com vale , logo . - O quociente de dois números do mesmo sinal é positivo; o quociente de dois sinais diferentes é negativo.
Essas três ideias são suficientes para a análise de sinais aqui.
Passo 3
Análise do numerador para
:
- Se
então . - Portanto
.
Logo o numeradoré negativo em todo o intervalo .
Passo 4
Análise do denominador para
:
- Se
então , portanto . - Assim
.
Além disso,só acontece em , que não pertencem ao intervalo , logo o denominador não é zero em .
Portanto o denominadoré negativo em todo o intervalo .
Passo 5
Juntando numerador e denominador:
- Para qualquer
temos numerador negativo e denominador negativo. - O quociente de dois negativos é positivo.
Logo, para todotem-se .
Para fixar com um exemplo numérico: tome
. Então
e
confirmando o raciocínio.
Passo 6
Observação final importante para a prova (respira e fica tranquilo):
- O ponto
não pertence ao intervalo ; note que (pois numerador zero), então a condição falharia em se o intervalo fosse fechado em . Por isso é essencial que o intervalo seja aberto. - Nos extremos
a função não está definida; novamente, esses pontos não estão no intervalo aberto, então não atrapalham.
Resposta
Verdadeiro