Considere a função f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}-1} e classifique as seguintes sentenças em verdadeira ou falsa, justificando as suas respostas:
f>0 no intervalo ( -1,0 )

Passo 1

O enunciado pede para classificar a sentença " f>0 no intervalo (-1,0)". As informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}-1}.
  • O intervalo considerado é (-1,0) (aberto, ou seja, não inclui os pontos -1 e 0).

Passo 2

Lembretes úteis sobre sinais (coisa de “sinalzinho” que aparece muito em prova):
  • Se x<0 então x^{3}<0. Em geral, o sinal de x^{3} é o mesmo sinal de x.
  • Para x com |x|<1 vale x^{2}<1, logo x^{2}-1<0.
  • O quociente de dois números do mesmo sinal é positivo; o quociente de dois sinais diferentes é negativo.
    Essas três ideias são suficientes para a análise de sinais aqui.

Passo 3

Análise do numerador para x\in(-1,0):
  • Se x\in(-1,0) então x<0.
  • Portanto x^{3}<0.
    Logo o numerador x^{3} é negativo em todo o intervalo (-1,0).

Passo 4

Análise do denominador para x\in(-1,0):
  • Se x\in(-1,0) então |x|<1, portanto x^{2}<1.
  • Assim x^{2}-1<0.
    Além disso, x^{2}-1=0 só acontece em x=\pm 1, que não pertencem ao intervalo (-1,0), logo o denominador não é zero em (-1,0).
    Portanto o denominador x^{2}-1 é negativo em todo o intervalo (-1,0).

Passo 5

Juntando numerador e denominador:
  • Para qualquer x\in(-1,0) temos numerador negativo e denominador negativo.
  • O quociente de dois negativos é positivo.
    Logo, para todo x\in(-1,0) tem-se f(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}-1}>0.
Para fixar com um exemplo numérico: tome x=-\tfrac{1}{2}. Então
x^{3}=-\tfrac{1}{8},\qquad x^{2}-1=\tfrac{1}{4}-1=-\tfrac{3}{4},
e
f\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\dfrac{-\tfrac{1}{8}}{-\tfrac{3}{4}}=\dfrac{1}{6}>0,
confirmando o raciocínio.

Passo 6

Observação final importante para a prova (respira e fica tranquilo):
  • O ponto 0 não pertence ao intervalo (-1,0); note que f(0)=0 (pois numerador zero), então a condição f>0 falharia em x=0 se o intervalo fosse fechado em 0. Por isso é essencial que o intervalo seja (-1,0) aberto.
  • Nos extremos \pm 1 a função não está definida; novamente, esses pontos não estão no intervalo aberto, então não atrapalham.

Resposta

Verdadeiro

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