Considere a função
e classifique as seguintes sentenças em verdadeira ou falsa, justificando as suas respostas:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para classificar como verdadeira ou falsa a sentença
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O ponto
pertence ao domínio da função (porque ). - O ponto
pertence ao domínio da função (porque ). - Preciso comparar os valores das derivadas
e .
Passo 2
Vou calcular
. Para isso uso a regra do quociente. Lembrete da regra do quociente:
se e
são diferenciáveis e
, então
se
Aqui tomo
e
. Explico cada passo:
é a derivada de
que vale
;
é a derivada de
que vale
. Substituo na fórmula do quociente.
Passo 3
Aplicando a regra do quociente:
Agora simplifico o numerador passo a passo:
Colocando isso sobre o denominador:
Fatorando
no numerador:
Essa é uma forma prática para avaliar a derivada em pontos específicos.
Passo 4
Avalio
. Substituo
na expressão derivada:
Portanto
.
Passo 5
Avalio
. Primeiro calculo os termos necessários:
Substituo na fórmula
:
Assim
(aproximadamente
).
Passo 6
Compare os valores obtidos:
Como
, a desigualdade
não é satisfeita. Ou seja, a sentença dada é falsa. (A justificativa completa está nos cálculos acima.)
Resposta
Falsa