Considere a função f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}-1} e classifique as seguintes sentenças em verdadeira ou falsa, justificando as suas respostas:
f^{\prime}(0)<f^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}-1} e pede para classificar como verdadeira ou falsa a sentença
f^{\prime}(0) < f^{\prime}\!\left(\tfrac{3}{2}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}-1}.
  • O ponto x=0 pertence ao domínio da função (porque 0\neq\pm1).
  • O ponto x=\tfrac{3}{2} pertence ao domínio da função (porque \tfrac{3}{2}\neq\pm1).
  • Preciso comparar os valores das derivadas f'(0) e f'(\tfrac{3}{2}).

Passo 2

Vou calcular f'(x). Para isso uso a regra do quociente. Lembrete da regra do quociente:
se u(x) e v(x) são diferenciáveis e v(x)\neq0, então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui tomo u(x)=x^{3} e v(x)=x^{2}-1. Explico cada passo: u'(x) é a derivada de x^{3} que vale 3x^{2}; v'(x) é a derivada de x^{2}-1 que vale 2x. Substituo na fórmula do quociente.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{3x^{2}(x^{2}-1)-x^{3}\cdot 2x}{(x^{2}-1)^{2}}.
Agora simplifico o numerador passo a passo:
3x^{2}(x^{2}-1)-2x^{4}=3x^{4}-3x^{2}-2x^{4}=(3x^{4}-2x^{4})-3x^{2}=x^{4}-3x^{2}.
Colocando isso sobre o denominador:
f'(x)=\frac{x^{4}-3x^{2}}{(x^{2}-1)^{2}}.
Fatorando x^{2} no numerador:
f'(x)=\frac{x^{2}(x^{2}-3)}{(x^{2}-1)^{2}}.
Essa é uma forma prática para avaliar a derivada em pontos específicos.

Passo 4

Avalio f'(0). Substituo x=0 na expressão derivada:
f'(0)=\frac{0^{2}(0^{2}-3)}{(0^{2}-1)^{2}}=\frac{0\cdot(-3)}{(-1)^{2}}=\frac{0}{1}=0.
Portanto f'(0)=0.

Passo 5

Avalio f'\!\left(\tfrac{3}{2}\right). Primeiro calculo os termos necessários:
\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}=\tfrac{9}{4},\qquad \left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}-3=\tfrac{9}{4}-3=\tfrac{9-12}{4}=-\tfrac{3}{4},
\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}-1=\tfrac{9}{4}-1=\tfrac{5}{4},\qquad \bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)^{2}=\tfrac{25}{16}.
Substituo na fórmula f'(x)=\dfrac{x^{2}(x^{2}-3)}{(x^{2}-1)^{2}}:
f'\!\left(\tfrac{3}{2}\right) =\frac{\tfrac{9}{4}\cdot\bigl(-\tfrac{3}{4}\bigr)}{\tfrac{25}{16}} =\frac{-\tfrac{27}{16}}{\tfrac{25}{16}} =-\frac{27}{25}.
Assim f'\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=-\dfrac{27}{25} (aproximadamente -1,08).

Passo 6

Compare os valores obtidos:
f'(0)=0,\qquad f'\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=-\frac{27}{25}.
Como 0>-\dfrac{27}{25}, a desigualdade f'(0)<f'\!\left(\tfrac{3}{2}\right) não é satisfeita. Ou seja, a sentença dada é falsa. (A justificativa completa está nos cálculos acima.)

Resposta

Falsa

Exercícios relacionados