Bia está se formando na UFV. Ela estudou Engenharia Química e espera utilizar seu conhecimento na iniciativa privada. Ela pensa nos empregos para os quais se candidatou. Sejam
e
os eventos que indicam as empresas que podem oferecer um emprego:
Bia apresenta, então, as probabilidades para receber as ofertas:
(a) Qual a Probabilidade de que Bia receba oferta de pelo menos um dos três empregos?
(b) Se Bia recebe oferta do Laboratório Albert Einstein, qual a probabilidade condicional de também receber oferta do Laboratório Hermes Pardini?
(b) Se Bia recebe oferta do Laboratório Albert Einstein, qual a probabilidade condicional de também receber oferta do Laboratório Hermes Pardini?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei estes números do enunciado):
- Eventos:
= Hermes Pardini, = Albert Einstein, = Oswaldo Cruz. - Probabilidades individuais:
- Interseções par a par e tripla:
O enunciado pede:
(a) A probabilidade de que Bia receba oferta de pelo menos um dos três empregos (ou seja, ).
(b) A probabilidade condicional de que Bia receba oferta de dado que ela recebeu oferta de
(ou seja,
).
(a) A probabilidade de que Bia receba oferta de pelo menos um dos três empregos (ou seja,
(b) A probabilidade condicional de que Bia receba oferta de
Passo 2
Conceito útil para (a): princípio da inclusão-exclusão para três eventos. Primeiro uma ideia simples: para dois eventos
e
,
Explicação rápida: soma-se as probabilidades individuais, mas subtrai-se a interseção porque ela foi contada duas vezes.
Para três eventos
a fórmula é:
Aqui o último termo corrige a interseção tripla que foi subtraída três vezes nas interseções par a par e adicionada três vezes nas somas iniciais — a conta correta exige esse ajuste.
Passo 3
Aplicando a fórmula com os números dados:
Cálculo passo a passo:
. Soma das interseções par a par
. Como
, não há termo extra. Resultado
.
Interpretação:
significa que, segundo esses números, é certo (probabilidade
) que Bia receberá pelo menos uma oferta entre as três — ou seja, os eventos cobririam todo o espaço amostral (dados consistentes com isso).
Passo 4
Para (b) usamos a definição de probabilidade condicional. A probabilidade condicional de
dado
é
desde que
. Intuição: entre os casos em que
ocorre, queremos a fração em que também ocorre
.
Agora aplicando os números fornecidos:
Para simplificar, multiplicando numerador e denominador por
temos
, ou em decimal:
Passo 5
Interpretação curta: dado que Bia recebeu oferta do Albert Einstein, a probabilidade de ela também receber oferta do Hermes Pardini é
(ou
). Isso combina a informação sobre a interseção
com a chance de
ocorrer.
Força aí — esses passos mostram as fórmulas essenciais que você pode aplicar rapidamente na prova: inclusão-exclusão para união de eventos e a razão para probabilidade condicional.
Resposta
(a)
(b)
(b)