Considere a função
.
(a) Determine o domínio de
.
(b) Encontre os zeros de
, caso existam.
(c) Verifique se
é par, ímpar ou nem par, nem ímpar.
(d) Use um software computacional para construir o gráfico de
. Olhando para o gráfico, verifique se
é injetora e analise os intervalos de crescimento e decrescimento.
(a) Determine o domínio de
(b) Encontre os zeros de
(c) Verifique se
(d) Use um software computacional para construir o gráfico de
Passo 1
O enunciado apresenta a função
e pede:
– (a) domínio;
– (b) zeros;
– (c) verificar se é par, ímpar ou nenhum;
– (d) usar um software para esboçar o gráfico, e a partir dele testar injetividade e estudar intervalos de crescimento/decrescimento.
Para resolver vamos usar: condições de existência de raiz quadrada, solução de equação polinomial, definição de paridade e análise de monotonicidade (via gráfico e derivada).
– (a) domínio;
– (b) zeros;
– (c) verificar se é par, ímpar ou nenhum;
– (d) usar um software para esboçar o gráfico, e a partir dele testar injetividade e estudar intervalos de crescimento/decrescimento.
Para resolver vamos usar: condições de existência de raiz quadrada, solução de equação polinomial, definição de paridade e análise de monotonicidade (via gráfico e derivada).
Passo 2
Para achar o domínio precisamos que o radicando de
seja estritamente positivo (pois está no denominador):
Logo o domínio é
Passo 3
Os zeros de
ocorrem quando o numerador se anula e o denominador é finito não nulo. Resolve-se
Como a função só existe para
, só
pertence ao domínio. Portanto o único zero é
Passo 4
Para ser função par ou ímpar, o domínio deveria ser simétrico em torno de zero. Aqui o domínio é
, que não é simétrico. Logo
não pode ser nem par nem ímpar.
Passo 5
Usando um software (por exemplo GeoGebra ou Python/Matplotlib) vê-se que:
– Conforme , o denominador vai a zero positivo e o numerador em
é negativo, então
.
– Conforme ,
.
O gráfico mostra que a curva sobe continuamente sem voltar. Para confirmar rigorosamente, calcula-se
– Conforme
– Conforme
O gráfico mostra que a curva sobe continuamente sem voltar. Para confirmar rigorosamente, calcula-se
O discriminante de
é negativo, então esse numerador é sempre positivo e o denominador é positivo para
. Assim
em todo o domínio, o que prova que
é estritamente crescente e, portanto, injetora. Não há intervalos de decrescimento.
Resposta
(a)
(b)
(c) nem par nem ímpar
(d) é estritamente crescente em
, logo injetora; não há trechos de decrescimento.
(b)
(c) nem par nem ímpar
(d)