Considere a função f(x)=\frac{x^{2}-9}{\sqrt{3 x-1}}.
(a) Determine o domínio de f.
(b) Encontre os zeros de f, caso existam.
(c) Verifique se f é par, ímpar ou nem par, nem ímpar.
(d) Use um software computacional para construir o gráfico de f. Olhando para o gráfico, verifique se f é injetora e analise os intervalos de crescimento e decrescimento.

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f(x)=\frac{x^{2}-9}{\sqrt{3x-1}}
e pede:
– (a) domínio;
– (b) zeros;
– (c) verificar se é par, ímpar ou nenhum;
– (d) usar um software para esboçar o gráfico, e a partir dele testar injetividade e estudar intervalos de crescimento/decrescimento.
Para resolver vamos usar: condições de existência de raiz quadrada, solução de equação polinomial, definição de paridade e análise de monotonicidade (via gráfico e derivada).

Passo 2

Para achar o domínio precisamos que o radicando de \sqrt{3x-1} seja estritamente positivo (pois está no denominador):
3x - 1 > 0 \quad\Longrightarrow\quad x > \tfrac{1}{3}.
Logo o domínio é
\bigl(\tfrac{1}{3},\,\infty\bigr).

Passo 3

Os zeros de f ocorrem quando o numerador se anula e o denominador é finito não nulo. Resolve-se
x^{2}-9=0 \;\Longrightarrow\; x=\pm3.
Como a função só existe para x>\tfrac13, só x=3 pertence ao domínio. Portanto o único zero é x=3.

Passo 4

Para ser função par ou ímpar, o domínio deveria ser simétrico em torno de zero. Aqui o domínio é (\tfrac13,\infty), que não é simétrico. Logo f não pode ser nem par nem ímpar.

Passo 5

Usando um software (por exemplo GeoGebra ou Python/Matplotlib) vê-se que:
– Conforme x\to\tfrac13^+, o denominador vai a zero positivo e o numerador em \tfrac13 é negativo, então f(x)\to -\infty.
– Conforme x\to+\infty, f(x)\sim \tfrac{x^2}{\sqrt{3x}}=\tfrac{x^{3/2}}{\sqrt3}\to+\infty.
O gráfico mostra que a curva sobe continuamente sem voltar. Para confirmar rigorosamente, calcula-se
f'(x) =\frac{4x(3x-1)-3(x^2-9)}{2\,(3x-1)^{3/2}} =\frac{9x^2-4x+27}{2\,(3x-1)^{3/2}}.
O discriminante de 9x^2-4x+27 é negativo, então esse numerador é sempre positivo e o denominador é positivo para x>\tfrac13. Assim f'(x)>0 em todo o domínio, o que prova que f é estritamente crescente e, portanto, injetora. Não há intervalos de decrescimento.

Resposta

(a) \bigl(\tfrac13,\infty\bigr)
(b) x=3
(c) nem par nem ímpar
(d) f é estritamente crescente em \bigl(\tfrac13,\infty\bigr), logo injetora; não há trechos de decrescimento.

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