Encontre as raízes dos polinômios a seguir e escreva-os na forma fatorada.
f(x)=4 x^{4}-9 x^{2}+2

Passo 1

O enunciado pede as raízes do polinômio
f(x)=4x^{4}-9x^{2}+2
e a forma fatorada. Vamos usar a técnica de reduzir a um polinômio quadrático em y=x^{2}.

Passo 2

Substituindo y=x^{2}, temos
f(x)=4y^{2}-9y+2.
Isso transforma a busca pelas raízes de f numa equação quadrática em y.

Passo 3

Resolvemos
4y^{2}-9y+2=0
pela fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = (-9)^{2}-4\cdot4\cdot2 =81-32=49,
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y=\frac{9\pm\sqrt{49}}{8}=\frac{9\pm7}{8}.
Isso dá as soluções
y_{1}=2, \quad y_{2}=\tfrac{1}{4}.

Passo 4

Voltando a x, temos
x^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{2},
x^{2}=\tfrac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\tfrac{1}{2}.
São as quatro raízes do polinômio.

Passo 5

Como as raízes são \pm\sqrt{2} e \pm\tfrac12, o polinômio se fatoriza em fatores lineares. Uma forma que dá coeficiente principal 4 é
f(x)=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(2x-1)(2x+1),
pois ao multiplicar (x^{2}-2)(4x^{2}-1) obtemos exatamente 4x^{4}-9x^{2}+2.

Resposta

f(x)=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(2x-1)(2x+1).

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