Considere a função
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} 2 x+2 & , & x<0 \\\ x^{2}-2 & , & 0 \leqslant x<2 \\\\ 2 & , & x \geqslant 2 \end{array}\right.
Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x), \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow 0} f(x).

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} 2x+2, & x<0,\\\ x^{2}-2, & 0\le x<2,\\\\ 2, & x\ge 2, \end{cases}
e pede os limites \lim_{x\to0^-}f(x), \lim_{x\to0^+}f(x) e \lim_{x\to0}f(x). Vamos usar o ramo apropriado para cada caso.

Passo 2

Para \lim_{x\to0^-}f(x) aproximamos x de 0 pela esquerda, logo usamos o ramo f(x)=2x+2.
Aproximando em x=0 obtemos
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(2x+2)=2\cdot0+2=2.

Passo 3

Para \lim_{x\to0^+}f(x) aproximamos x de 0 pela direita, então usamos o ramo f(x)=x^{2}-2.
Aproximando em x=0 obtemos
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(x^{2}-2)=0^{2}-2=-2.

Passo 4

Como \lim_{x\to0^-}f(x)=2 e \lim_{x\to0^+}f(x)=-2 são diferentes, não existe o limite bilateral em 0. Portanto
\lim_{x\to0}f(x)\text{ não existe.}ã

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to0^-}f(x)=2, \displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=-2, \displaystyle \lim_{x\to0}f(x) não existe.

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