Considere a função f(x)=x ln x
Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 centrado em x0=e.

Passo 1

Estamos lidando com o polinômio de Taylor de ordem 3 para a função f(x)=xln x ao redor de x0=e. Para isso vamos precisar das derivadas até a terceira ordem em x0 e usar a fórmula de Taylor para funções de uma variável.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas de f(x)=xln x:
f'(x)=ddx(xln x)=ln x+1,
f''(x)=ddx(ln x+1)=1x,
f'''(x)=ddxl(1xr)=-1x^2

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas em x=e:
f(e)=eln e=e, f'(e)=ln e+1=2, f''(e)=1e, f'''(e)=-1e^2

Passo 4

Por fim, usamos a fórmula do polinômio de Taylor de ordem 3 centrado em x0=e:
P3(x)=f(e)+f'(e)(x-e)+f''(e)2!(x-e)^2+f'''(e)3!(x-e)^3
Substituindo os valores encontrados, temos
P3(x)=e+2(x-e)+1/e2(x-e)^2-1/e^26(x-e)^3

Resposta

P3(x)=e+2,(x-e)+(x-e)^22,e-(x-e)^36,e^2

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