Considere a função
f(x)= x^2, & se x >= 0 2, & se x<0
Calcule lim x 0^+ f(x) e lim x 0^- f(x). Existe lim x 0 f(x) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de formas diferentes para valores maiores ou iguais a zero e para valores menores que zero. O que precisamos fazer é calcular os limites da função quando se aproxima de zero pela direita ( ) e pela esquerda ( ). Depois, vamos verificar se o limite geral quando se aproxima de zero existe ou não. Para isso, vamos precisar entender o conceito de limites laterais e como calcular cada um deles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando f(x) = x^2, se x >= 0 se aproxima de zero pela direita, ou seja, f(x) = x^2 . Quando limx 0^+ f(x) = limx 0^+ x^2 está se aproximando de zero pela direita, isso significa que limx 0^+ x^2 = 0^2 = 0 está sendo um número positivo, igual ou próximo de zero. De acordo com a definição da função:
Então, para :
Então, o limite fica:
Sabemos que é uma função contínua, então podemos simplesmente substituir por 0:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando f(x) = 2, se x < 0 se aproxima de zero pela esquerda, ou seja, f(x) = 2 . Quando limx 0^- f(x) = limx 0^- 2 está se aproximando de zero pela esquerda, isso significa que limx 0^- 2 = 2 é um número negativo, próximo de zero. De acordo com a definição da função:
Então, para :
Portanto, o limite fica:
Como 2 é uma constante, o limite é simplesmente:

Passo 4

Agora que temos os dois limites laterais, vamos verificar se o limite geral limx 0^+ f(x) = 0 existe. Para que o limite geral exista, os limites laterais devem ser iguais. Neste caso:
limx 0^- f(x) = 2
e
Como 0 não é igual a 2, os limites laterais são diferentes.

Resposta

Não existe porque os limites laterais são diferentes: e .

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