Considere a função f(x)=x-x^2(x+1)^2.
(a) (4 pontos) Determine o domínio da função e encontre os pontos de interseção com os eixos x e y , caso existam.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \frac{x - x^{2}}{(x + 1)^{2}} $. O que a gente precisa fazer aqui é primeiro descobrir o domínio dessa função, que é basicamente todos os valores de $ x $ que a gente pode colocar na função sem causar problemas, como divisões por zero. Depois, vamos encontrar onde essa função corta os eixos x e y do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de $ x $ que deixam a função bem definida. Olhando para a função, temos um denominador $ (x + 1)^{2} $. A gente sabe que não pode dividir por zero, então vamos descobrir quando o denominador é igual a zero:
x
Resolvendo isso:
(x + 1)^2
Então, $ x = -1 $ faz o denominador zero, o que não é permitido. Portanto, o domínio da função são todos os números reais menos $ x = -1 $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a interseção com o eixo y. Para isso, a gente coloca $ x = 0 $ na função, porque o eixo y é onde $ x = 0 $.
x = 0
Então, a função corta o eixo y no ponto $ (0, 0) $.

Passo 4

Para achar onde a função corta o eixo x, a gente precisa encontrar os valores de $ x $ que fazem $ f(x) = 0 $. Isso acontece quando o numerador da fração é zero, já que uma fração é zero quando o numerador é zero (o denominador não pode ser zero, mas já vimos que $ x \neq -1 $).
x
Então, temos duas soluções:
f(x) = 0
Portanto, a função corta o eixo x nos pontos $ (0, 0) $ e $ (1, 0) $.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais exceto $ x = -1 $. A função intercepta o eixo y no ponto $ (0, 0) $ e o eixo x nos pontos $ (0, 0) $ e $ (1, 0) $.

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