Calcule:
pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
Aqui, estamos lidando com uma fração algébrica, ou seja, uma expressão onde temos um polinômio dividido por outro polinômio. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar frações algébricas e usar técnicas de integração como a decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração:
. Isso pode ser fatorado para facilitar nossa vida. Vamos fatorar:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o numerador
. Podemos reescrever isso de uma forma que facilite a integração. Vamos reorganizar:
Mas, uma abordagem mais simples é expressar o numerador em termos do denominador. Note que o denominador é
, então podemos tentar escrever o numerador como uma combinação linear de
e uma constante.
Passo 4
Vamos decompor
em termos de
:
Expandindo:
Agora, igualamos os coeficientes:
Isso nos dá:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na fração:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
A primeira integral é uma forma padrão:
Então:
A segunda integral também é padrão:
Então:
Resposta
Juntando tudo, a integral é:
Onde
é a constante de integração.