Calcule:
(10 pontos) integral 3-2 xx^2-2 x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral 3-2xx^2-2x+1 , dx
Aqui, estamos lidando com uma fração algébrica, ou seja, uma expressão onde temos um polinômio dividido por outro polinômio. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar frações algébricas e usar técnicas de integração como a decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: x^2 - 2x + 1. Isso pode ser fatorado para facilitar nossa vida. Vamos fatorar:
x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2
Então, a integral fica:
integral 3-2x(x-1)^2 , dx

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador 3 - 2x. Podemos reescrever isso de uma forma que facilite a integração. Vamos reorganizar:
3 - 2x = -2x + 3 = -2(x - 32)
Mas, uma abordagem mais simples é expressar o numerador em termos do denominador. Note que o denominador é (x - 1)^2, então podemos tentar escrever o numerador como uma combinação linear de (x - 1) e uma constante.

Passo 4

Vamos decompor 3 - 2x em termos de (x - 1):
3 - 2x = A(x - 1) + B
Expandindo:
3 - 2x = A x - A + B
Agora, igualamos os coeficientes:
-2x + 3 = A x + (-A + B)
Isso nos dá:
A = -2 e -A + B = 3 Rightarrow 2 + B = 3 Rightarrow B = 1

Passo 5

Agora, substituímos de volta na fração:
3 - 2x(x - 1)^2 = -2(x - 1) + 1(x - 1)^2 = -2(x - 1)(x - 1)^2 + 1(x - 1)^2 = -2x - 1 + 1(x - 1)^2
Então, a integral fica:
integral ( -2x - 1 + 1(x - 1)^2 ) , dx

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral -2x - 1 , dx + integral 1(x - 1)^2 , dx
A primeira integral é uma forma padrão:
integral 1x - a , dx = ln|x - a| + C
Então:
-2 ln|x - 1|
A segunda integral também é padrão:
integral (x - a)^-2 , dx = (x - a)^-1-1 + C = -1x - a + C
Então:
-1x - 1

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
-2 ln|x - 1| - 1x - 1 + C
Onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados