Encontre a equação da reta tangente à curva yx^2+e^x+y=2 no ponto ( -1,1 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente à curva yx^2 + e^x+y = 2 no ponto (-1, 1). A matéria envolvida aqui é cálculo, especialmente derivadas implícitas, já que a equação da curva não está isolada para y. Vamos precisar encontrar a derivada dydx para determinar a inclinação da reta tangente nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o ponto (-1, 1) realmente está na curva. Substituindo x = -1 e y = 1 na equação:
1(-1)^2 + e^-1 + 1 = 11 + e^0 = 1 + 1 = 2
Como a igualdade é verdadeira, o ponto pertence à curva.

Passo 3

Agora, vamos encontrar dydx usando derivadas implícitas. Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x:
ddx(yx^2 + e^x+y) = ddx(2)
Derivado do lado direito é zero.

Passo 4

Vamos derivar cada termo do lado esquerdo:
  1. Derivada de yx^2:
ddx(yx^2) = dydx cdot 1x^2 + y cdot ddx(1x^2) = dydx cdot 1x^2 - 2yx^3
  1. Derivada de e^x+y:
ddx(e^x+y) = e^x+y cdot (1 + dydx)

Passo 5

Juntando as derivadas:
dydx cdot 1x^2 - 2yx^3 + e^x+y cdot (1 + dydx) = 0
Vamos isolar dydx:
dydx (1x^2 + e^x+y) = 2yx^3 - e^x+y
Logo:
dydx = 2yx^3 - e^x+y1x^2 + e^x+y

Passo 6

Agora, substituímos x = -1 e y = 1 na expressão da derivada:
Primeiro, calcule e^x+y:
e^-1 + 1 = e^0 = 1
Então, a derivada fica:
dydx = 2 cdot 1(-1)^3 - 11(-1)^2 + 1 = 2-1 - 111 + 1 = -2 - 11 + 1 = -32

Passo 7

Com a inclinação da reta tangente sendo -32 e passando pelo ponto (-1, 1), podemos usar a forma da equação da reta:
y - y1 = m(x - x1)
Onde m = -32, x1 = -1 e y1 = 1.
Substituindo:
y - 1 = -32(x - (-1)) implies y - 1 = -32(x + 1)

Resposta

A equação da reta tangente é:
y = -32x - 12

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