Encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto (
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto
. A matéria envolvida aqui é cálculo, especialmente derivadas implícitas, já que a equação da curva não está isolada para
. Vamos precisar encontrar a derivada
para determinar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o ponto
realmente está na curva. Substituindo
e
na equação:
Como a igualdade é verdadeira, o ponto pertence à curva.
Passo 3
Agora, vamos encontrar
usando derivadas implícitas. Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
:
Derivado do lado direito é zero.
Passo 4
Vamos derivar cada termo do lado esquerdo:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Passo 5
Juntando as derivadas:
Vamos isolar
:
Logo:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na expressão da derivada:
Primeiro, calcule
:
Então, a derivada fica:
Passo 7
Com a inclinação da reta tangente sendo
e passando pelo ponto
, podemos usar a forma da equação da reta:
Onde
,
e
.
Substituindo:
Resposta
A equação da reta tangente é: