Considere a função f(x)=x+1raizx^2+1 definida em R. Determine (se houver):
os valores de máximo e mínimo locais e absolutos;

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos locais e absolutos da função f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}} definida em ℝ. Vamos usar cálculo de derivada para achar pontos críticos e analisar limites para verificar se há extremos globais.

Passo 2

Para obter f’(x), escrevemos f como produto f(x)=(x+1)(x2+1){-1/2}. Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia, obtemos
f'(x)=(x^2+1)^-1/2-(x+1),x,(x^2+1)^-3/2= (x^2+1)-x(x+1)(x^2+1)^3/2= 1-x(x^2+1)^3/2

Passo 3

Resolvendo f’(x)=0 vem 1−x=0, logo x=1 é o único ponto crítico. O denominador nunca zera em ℝ, então não há outras singularidades.

Passo 4

Analisando o sinal de f’: para x<1 temos 1−x>0 ⇒ f’>0 (f crescente) e para x>1 temos 1−x<0 ⇒ f’<0 (f decrescente). Assim em x=1 f passa de crescente para decrescente, caracterizando um máximo local.

Passo 5

Calculamos o valor em x=1:
f(1)=1+1raiz1^2+1=2raiz2=raiz2

Passo 6

Para verificar extremos absolutos, analisamos os limites em ±∞. Quando x→+∞,
f(x)→1, e quando x→−∞,
f(x)→−1. A função nunca atinge −1, mas se aproxima dele.

Passo 7

Como f tende a −1 inferiormente sem atingir, não há mínimo absoluto em ℝ (infimum = −1). Já o máximo absoluto é em x=1 com valor √2.

Resposta

Máximo local e absoluto em x=1, com f(1)=\sqrt2. Não há mínimo local nem mínimo absoluto (infimum = −1, não atingido).

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