Resolver a edp resultantepelo método da separação devariáveis, com as seguintes condições de contorno e inicial:
c k partial^2 Tpartial x^2=partial Tpartial x T(x, 0)=f(x) T(0, t)=0 e T(L, t)=0

Passo 1

A equação diferencial parcial dada é a equação do calor unidimensional
partial Tpartial t=k,partial^2 Tpartial x^2
com condição inicial T(x,0)=f(x) e condições de contorno homogêneas T(0,t)=T(L,t)=0. Vamos usar separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Assumimos solução do tipo T(x,t)=X(x)G(t). Substituindo na PDE, obtemos
X(x),G'(t)=k,X''(x),G(t)
Dividindo por kX(x)G(t):
G'(t)kG(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
onde lambda é constante de separação.

Passo 3

O problema para X(x) fica
X''(x)+lambda X(x)=0,
com X(0)=X(L)=0. As soluções não triviais ocorrem para
lambdan=l(tfracnpiLr)^2,
e funções próprias
Xn(x)=sinl(tfracnpiLxr), n=1,2,3,dots .

Passo 4

O problema temporal é
Gn'(t)+klambdan Gn(t)=0
cuja solução é
Gn(t)=Cnexpl(-klambdan tr)=Cnexpl(-ktfracn^2pi^2L^2tr)

Passo 5

Pela superposição linear das soluções, a solução geral é
T(x,t)=sumn=1^inftyCnsinl(tfracnpiLxr)expl(-ktfracn^2pi^2L^2tr)

Passo 6

Para determinar Cn, aplicamos a condição inicial:
f(x)=T(x,0)=sumn=1^inftyCnsinl(tfracnpiLxr)
Expandindo f(x) em série de senos, temos
Cn=2Lintegral0^Lf(xi)sinl(tfracnpiLxir),dxi

Resposta

A solução por separação de variáveis é
T(x,t)=sumn=1^inftygl(2Lintegral0^Lf(xi)sinl(tfracnpiLxir),dxigr)sinl(tfracnpiLxr)expl(-ktfracn^2pi^2L^2tr)

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