Resolver a edp resultantepelo método da separação devariáveis, com as seguintes condições de contorno e inicial:
Passo 1
A equação diferencial parcial dada é a equação do calor unidimensional
com condição inicial
T(x,0)=f(x) e condições de contorno homogêneas
T(0,t)=T(L,t)=0 . Vamos usar separação de variáveis para resolver.
Passo 2
Assumimos solução do tipo
T(x,t)=X(x)G(t) . Substituindo na PDE, obtemos
Dividindo por
kX(x)G(t) :
onde
lambda é constante de separação.
Passo 3
O problema para
X(x) fica
com
X(0)=X(L)=0 . As soluções não triviais ocorrem para
e funções próprias
Passo 4
O problema temporal é
cuja solução é
Passo 5
Pela superposição linear das soluções, a solução geral é
Passo 6
Para determinar
Cn , aplicamos a condição inicial:
Expandindo
f(x) em série de senos, temos
Resposta
A solução por separação de variáveis é