Encontre as funções f circ g, g circ f, f circ f e g circ g;e seus domínios.
f(x)=raizx-2, g(x)=x^2-2

Passo 1

O enunciado pede para achar as composições de funções e seus domínios. As funções são f(x)=\sqrt{x-2} (domínio x\ge2) e g(x)=x^2-2 (domínio \mathbb R). Vamos usar que, para h=f\circ g, temos h(x)=f(g(x)) e Dom(h) = {x\in Dom(g) : g(x)\in Dom(f)}.

Passo 2

Para f\circ g, calculamos f(g(x)). Primeiro escrevemos a composição em bloco:
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=raizg(x)-2
Substituindo g(x)=x^2-2:
(fcirc g)(x)=raizx^2-2-2=raizx^2-4
Agora o domínio: precisamos de x\in Dom(g)=\mathbb R tal que x^2-4\ge0. Isso dá x\le-2 ou x\ge2.

Passo 3

Para g\circ f, fazemos g(f(x)). Primeiro a expressão:
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=l(raizx-2r)^2-2
Elevando ao quadrado e simplificando:
(gcirc f)(x)=x-2-2=x-4
O domínio é x\in Dom(f)=[2,\infty), pois f(x) precisa estar definido para depois aplicarmos g.

Passo 4

Para f\circ f, compomos f com ela mesma:
(fcirc f)(x)=fl(f(x)r)=raizf(x)-2=raizraizx-2-2
Domínio: primeiro x\in Dom(f) dá x\ge2. Depois, o argumento interno deve ser \sqrt{x-2}-2\ge0, ou seja \sqrt{x-2}\ge2, o que implica x-2\ge4 e, portanto, x\ge6. Logo Dom(f\circ f)=[6,\infty).

Passo 5

Para g\circ g, fazemos g(g(x)):
(gcirc g)(x)=gl(g(x)r)=(x^2-2)^2-2=x^4-4x^2+2
Como g está definido em todo \mathbb R e g(x) também é real para qualquer x real, temos Dom(g\circ g)=\mathbb R.

Resposta

f\circ g(x)=\sqrt{x^2-4}, Dom(f\circ g)=(-\infty,-2]\cup[2,\infty)
g\circ f(x)=x-4, Dom(g\circ f)=[2,\infty)
f\circ f(x)=\sqrt{\sqrt{x-2}-2}, Dom(f\circ f)=[6,\infty)
g\circ g(x)=x4-4x2+2, Dom(g\circ g)=\mathbb R

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