Considere a função
. Esboce o gráfico de
.
Passo 1
A questão pede para esboçar o gráfico da superfície definida por f(x,y)=640/(4x²+y²+64). O conteúdo é esboço de superfícies de duas variáveis e vamos precisar analisar domínio, máximo, seções e curvas de nível para entender o formato.
Passo 2
O domínio de f é todo ℝ², pois 4x²+y²+64 nunca é zero. A imagem de f é (0,10], pois no ponto (0,0) temos o máximo f(0,0)=640/64=10 e conforme (x,y)→∞ o denominador cresce, levando f→0.
Passo 3
Para entender a forma ao longo dos eixos, fazemos cortes:
Quando y=0 se tem
que é um “morro” simétrico em x com pico 10 em x=0 e decaindo para 0.
Quando x=0 se tem
que também tem pico 10 em y=0, mas decai mais lentamente – o “morro” é mais largo que no corte em x.
Passo 4
As curvas de nível f(x,y)=k geram elipses:
Isso mostra que, para cada 0<k<10, o conjunto de pontos de altura k é uma elipse centrada na origem, mais “apertada” no eixo x (coeficiente 4) e mais aberta no eixo y.
Passo 5
Reunindo tudo, o gráfico é uma cúpula elíptica suave: um pico de altura 10 em (0,0), simétrica em x e y, mas com inclinação maior na direção x. Ao longe a superfície tende a zero. O esboço consiste num domo elíptico decaindo para um platô no plano z=0.
Resposta
O gráfico é uma cúpula elíptica, com pico de altura 10 em (0,0) e decaimento suave para 0 conforme x²+y²→∞, cruzada por curvas de nível elípticas 4x²+y²=const.