Considere a função f(x, y)=6404 x^2+y^2+64. Esboce o gráfico de f.

Passo 1

A questão pede para esboçar o gráfico da superfície definida por f(x,y)=640/(4x²+y²+64). O conteúdo é esboço de superfícies de duas variáveis e vamos precisar analisar domínio, máximo, seções e curvas de nível para entender o formato.

Passo 2

O domínio de f é todo ℝ², pois 4x²+y²+64 nunca é zero. A imagem de f é (0,10], pois no ponto (0,0) temos o máximo f(0,0)=640/64=10 e conforme (x,y)→∞ o denominador cresce, levando f→0.

Passo 3

Para entender a forma ao longo dos eixos, fazemos cortes:
Quando y=0 se tem
f(x,0)=6404x^2+64=160x^2+16,
que é um “morro” simétrico em x com pico 10 em x=0 e decaindo para 0.
Quando x=0 se tem
f(0,y)=640y^2+64,
que também tem pico 10 em y=0, mas decai mais lentamente – o “morro” é mais largo que no corte em x.

Passo 4

As curvas de nível f(x,y)=k geram elipses:
4x^2+y^2+64=640k
4x^2+y^2=64l(10k-1r)
Isso mostra que, para cada 0<k<10, o conjunto de pontos de altura k é uma elipse centrada na origem, mais “apertada” no eixo x (coeficiente 4) e mais aberta no eixo y.

Passo 5

Reunindo tudo, o gráfico é uma cúpula elíptica suave: um pico de altura 10 em (0,0), simétrica em x e y, mas com inclinação maior na direção x. Ao longe a superfície tende a zero. O esboço consiste num domo elíptico decaindo para um platô no plano z=0.

Resposta

O gráfico é uma cúpula elíptica, com pico de altura 10 em (0,0) e decaimento suave para 0 conforme x²+y²→∞, cruzada por curvas de nível elípticas 4x²+y²=const.

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