Considere a função f(x, y)=6404 x^2+y^2+64. Esboce as curvas de nível c=5, c=8 e c=10.

Passo 1

O enunciado pede as curvas de nível da função f(x,y)= 6404x^2+y^2+64 para c=5, 8 e 10. Vamos usar o conceito de curva de nível: resolver f(x,y)=c e obter uma curva implícita em x e y, que aqui será uma família de elipses ou um ponto.

Passo 2

Igualando f(x,y) a um valor c, temos:
6404x^2+y^2+64=cMultiplicando ambos os lados por 4x^2+y^2+64 e isolando as variáveis:
4x^2+y^2+64=640cLongrightarrow 4x^2+y^2=640c-64

Passo 3

Para c=5, calculamos 6405-64=128-64=64. A curva de nível é
4x^2+y^2=64Long<=ftrightarrow x^216+y^264=1,que é uma elipse centrada em (0,0) com semi-eixo em x igual a 4 e em y igual a 8.

Passo 4

Para c=8, temos 6408-64=80-64=16. A curva de nível fica
4x^2+y^2=16Long<=ftrightarrow x^24+y^216=1,uma elipse com semi-eixo em x igual a 2 e em y igual a 4.

Passo 5

Para c=10, 64010-64=64-64=0, logo
4x^2+y^2=0que só é satisfeita por x=0 e y=0, ou seja, a curva degenerada é o ponto (0,0).

Resposta

Para c=5: tfracx^216+tfracy^264=1; para c=8: tfracx^24+tfracy^216=1; para c=10: ponto (0,0).

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