Nos problemas de 1-5 encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
y^prime prime prime-3 y^prime prime+3 y^prime-y=4 e^t

Passo 1

A questão pede a solução geral da equação diferencial de terceira ordem com coeficientes constantes e termo forçado por uma exponencial. O conteúdo é “equações lineares de coeficientes constantes” e vamos precisar: a) resolver a parte homogênea via equação característica; b) aplicar o método dos coeficientes indeterminados para a parte particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, substituímos y(t)=e^{rt} e montamos a equação característica
Formamos a equação característica substituindo y=e^{rt} em y’’’-3y’’+3y’-y=0:
r^3 - 3r^2 + 3r - 1 = 0

Passo 3

Fatorando o polinômio ou reconhecendo o binômio de Newton, obtemos raiz única r=1 de multiplicidade 3. Logo, a solução da parte homogênea é
yh(t) = e^t(C1 + C2 t + C3 t^2)

Passo 4

Como o termo forçante é 4e^t e r=1 é raiz tripla da característica, usamos o método dos coeficientes indeterminados com o ansatz aumentado em t^3:
yp(t)=A t^3 e^t

Passo 5

Calculamos as derivadas de y_p e substituímos na equação original. Após agrupar os termos, o lado esquerdo vira 6A e^t, que deve igualar 4e^t, implicando A=2/3.

Passo 6

Somando as partes, a solução geral é
y(t)=e^t(C1 + C2 t + C3 t^2 + tfrac23t^3)

Resposta

y(t)=e^t(C1 + C2 t + C3 t^2 + tfrac23t^3)

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