Nos problemas de 1-5 encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Passo 1
A questão pede a solução geral da equação diferencial de terceira ordem com coeficientes constantes e termo forçado por uma exponencial. O conteúdo é “equações lineares de coeficientes constantes” e vamos precisar: a) resolver a parte homogênea via equação característica; b) aplicar o método dos coeficientes indeterminados para a parte particular.
Passo 2
Para a parte homogênea, substituímos y(t)=e^{rt} e montamos a equação característica
Formamos a equação característica substituindo y=e^{rt} em y’’’-3y’’+3y’-y=0:
Formamos a equação característica substituindo y=e^{rt} em y’’’-3y’’+3y’-y=0:
Passo 3
Fatorando o polinômio ou reconhecendo o binômio de Newton, obtemos raiz única r=1 de multiplicidade 3. Logo, a solução da parte homogênea é
Passo 4
Como o termo forçante é 4e^t e r=1 é raiz tripla da característica, usamos o método dos coeficientes indeterminados com o ansatz aumentado em t^3:
Passo 5
Calculamos as derivadas de y_p e substituímos na equação original. Após agrupar os termos, o lado esquerdo vira 6A e^t, que deve igualar 4e^t, implicando A=2/3.
Passo 6
Somando as partes, a solução geral é