a) (1.0)Determine f_{x}(x, y) e f_{y}(x, y) quando (x, y) \neq(0,0).
b) (1.0) Determine f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0
c) (1.0) Mostre que f_{x} e f_{y} são contínuas em todo \mathbb{R}^{2} e conclua que f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.
Determinar f_{x}(x,y) e f_{y}(x,y) para (x,y)\neq(0,0).
Determinar f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0) (pelas definições dos derivadas parciais).
Mostrar que f_{x} e f_{y} são contínuas em todo \mathbb{R}^{2} e concluir que f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de f fora da origem e seu valor na origem. Não há outras figuras ou dados.]
Passo 2
Definição e estratégia (aquecimento didático). Lembre-se: a derivada parcial de f em relação a x é a derivada tratando y como constante:
f_x(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},
quando essa limite existe. Na prática para funções racionais e produtos costuma-se aplicar as regras usuais de derivação (regra do produto e regra da cadeia), tratando y como constante. Vou escrever f(x,y)=x^{4}\cdot (x^{2}+y^{2})^{-1} e diferenciar usando a regra do produto:
se u(x,y)=x^{4} e v(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{-1}, então
f_x = u_x v + u v_x.
Vou calcular u_x, v_x explicitamente.
Passo 3
Calcule u_x e v_x. Para u(x,y)=x^{4} com y constante,
u_x(x,y)=4x^{3}.
Para v(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{-1}, aplicamos a regra da cadeia: se w(t)=t^{-1} então w'(t)=-t^{-2}; com t=x^{2}+y^{2} e derivando em relação a x (com y constante) obtemos
Essa forma é algebraicamente equivalente e será útil para estudar o comportamento quando (x,y)\to(0,0).
Passo 6
Agora calcule f_y(x,y) para (x,y)\neq(0,0). Podemos usar f(x,y)=x^{4}(x^{2}+y^{2})^{-1} e observar que x^{4} é tratado como constante ao derivar em relação a y. Então, com a regra da cadeia:
são funções racionais cujos denominadores são positivos quando (x,y)\neq(0,0); portanto f_x e f_y são contínuas em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}. Resta verificar continuidade no ponto (0,0).
Passo 10
Verificação de continuidade de f_x em (0,0). Queremos mostrar
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f_x(x,y)=f_x(0,0)=0.
Use coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Substituindo na forma simplificada de f_x:
pois |\cos^{4}\theta|\le1 e |\sin\theta|\le1. Então |f_y(r,\theta)|\to0 quando r\to0. Assim \lim_{(x,y)\to(0,0)} f_y(x,y)=0=f_y(0,0) e f_y é contínua em (0,0).
Passo 12
Conclusão sobre continuidade das parciais e diferenciabilidade. Juntando: f_x e f_y existem em todo \mathbb{R}^{2} e são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}. Um teorema padrão de cálculo multivariado afirma que se as derivadas parciais existem numa vizinhança de um ponto e são contínuas naquele ponto, então a função é diferenciável nesse ponto. Como isso vale para todo ponto de \mathbb{R}^{2}, concluímos que f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.
Resposta
(a) \displaystyle f_x(x,y)=\frac{2x^{3}\big(x^{2}+2y^{2}\big)}{(x^{2}+y^{2})^{2}},\qquad f_y(x,y)=-\frac{2x^{4}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} para (x,y)\neq(0,0).\n
(b) \displaystyle f_x(0,0)=0,\qquad f_y(0,0)=0.\n
(c) f_x e f_y são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}; portanto f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.