Considere a função
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{4}}{x^{2}+y^{2}} ; & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 ; & (x, y)=(0,0)\end{cases}
a) (1.0)Determine f_{x}(x, y) e f_{y}(x, y) quando (x, y) \neq(0,0).
b) (1.0) Determine f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0
c) (1.0) Mostre que f_{x} e f_{y} são contínuas em todo \mathbb{R}^{2} e conclua que f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0).\end{cases}
As perguntas são:
  1. Determinar f_{x}(x,y) e f_{y}(x,y) para (x,y)\neq(0,0).
  2. Determinar f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0) (pelas definições dos derivadas parciais).
  3. Mostrar que f_{x} e f_{y} são contínuas em todo \mathbb{R}^{2} e concluir que f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de f fora da origem e seu valor na origem. Não há outras figuras ou dados.]

Passo 2

Definição e estratégia (aquecimento didático). Lembre-se: a derivada parcial de f em relação a x é a derivada tratando y como constante:
f_x(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},
quando essa limite existe. Na prática para funções racionais e produtos costuma-se aplicar as regras usuais de derivação (regra do produto e regra da cadeia), tratando y como constante. Vou escrever f(x,y)=x^{4}\cdot (x^{2}+y^{2})^{-1} e diferenciar usando a regra do produto:
se u(x,y)=x^{4} e v(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{-1}, então
f_x = u_x v + u v_x.
Vou calcular u_x, v_x explicitamente.

Passo 3

Calcule u_x e v_x. Para u(x,y)=x^{4} com y constante,
u_x(x,y)=4x^{3}.
Para v(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{-1}, aplicamos a regra da cadeia: se w(t)=t^{-1} então w'(t)=-t^{-2}; com t=x^{2}+y^{2} e derivando em relação a x (com y constante) obtemos
v_x(x,y) = -1\cdot (x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2x = -\frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Agora combine as partes na fórmula do produto para obter f_x quando (x,y)\neq(0,0). Temos
f_x(x,y)=4x^{3}\cdot (x^{2}+y^{2})^{-1} + x^{4}\cdot\Big(-\frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\Big).
Colocando em forma racional comum:
f_x(x,y)=\frac{4x^{3}}{x^{2}+y^{2}} - \frac{2x^{5}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 5

Simplifique a expressão de f_x para uma forma mais manejável (útil para estimativas). Colocando denominação comum (x^{2}+y^{2})^{2}:
f_x(x,y)=\frac{4x^{3}(x^{2}+y^{2}) - 2x^{5}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{2x^{3}\big(x^{2}+2y^{2}\big)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Essa forma é algebraicamente equivalente e será útil para estudar o comportamento quando (x,y)\to(0,0).

Passo 6

Agora calcule f_y(x,y) para (x,y)\neq(0,0). Podemos usar f(x,y)=x^{4}(x^{2}+y^{2})^{-1} e observar que x^{4} é tratado como constante ao derivar em relação a y. Então, com a regra da cadeia:
f_y(x,y)=x^{4}\cdot\Big(-1\cdot (x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2y\Big) = -\frac{2x^{4}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Essa é a expressão de f_y para (x,y)\neq(0,0).

Passo 7

Agora fazemos (b): derivadas parciais na origem pela definição. Primeiro f_x(0,0) pela definição de derivada parcial:
f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Quando y=0 e h\neq0,
f(h,0)=\frac{h^{4}}{h^{2}+0}=h^{2}.
Logo
\frac{f(h,0)-0}{h}=\frac{h^{2}}{h}=h,
e portanto
f_x(0,0)=\lim_{h\to0} h = 0.

Passo 8

Calcule f_y(0,0) pela definição:
f_y(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}.
Para x=0 e k\neq0,
f(0,k)=\frac{0^{4}}{0+k^{2}}=0,
logo
\frac{f(0,k)-0}{k}=\frac{0}{k}=0,
e assim
f_y(0,0)=0.

Passo 9

Agora (c): queremos mostrar que f_x e f_y são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}. Primeiro observe que para (x,y)\neq(0,0) as fórmulas
f_x(x,y)=\frac{2x^{3}\big(x^{2}+2y^{2}\big)}{(x^{2}+y^{2})^{2}},\qquad f_y(x,y)=-\frac{2x^{4}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
são funções racionais cujos denominadores são positivos quando (x,y)\neq(0,0); portanto f_x e f_y são contínuas em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}. Resta verificar continuidade no ponto (0,0).

Passo 10

Verificação de continuidade de f_x em (0,0). Queremos mostrar
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f_x(x,y)=f_x(0,0)=0.
Use coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Substituindo na forma simplificada de f_x:
f_x(r,\theta)=\frac{2(r\cos\theta)^{3}\big((r\cos\theta)^{2}+2(r\sin\theta)^{2}\big)}{r^{4}}.
Simplificando os fatores de r:
f_x(r,\theta)=2r\cos^{3}\theta\big(\cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta\big).
Agora observe que |\cos^{3}\theta|\le1 e \cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta\le 2. Assim
|f_x(r,\theta)| \le 2r\cdot 1 \cdot 2 = 4r.
Como r\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue f_x(x,y)\to0. Portanto f_x é contínua em (0,0).

Passo 11

Verificação de continuidade de f_y em (0,0). Usando coordenadas polares na expressão de f_y,
f_y(r,\theta) = -\frac{2(r\cos\theta)^{4}(r\sin\theta)}{r^{4}} = -2r\cos^{4}\theta\sin\theta.
Logo
|f_y(r,\theta)| \le 2r\cdot 1\cdot 1 = 2r,
pois |\cos^{4}\theta|\le1 e |\sin\theta|\le1. Então |f_y(r,\theta)|\to0 quando r\to0. Assim \lim_{(x,y)\to(0,0)} f_y(x,y)=0=f_y(0,0) e f_y é contínua em (0,0).

Passo 12

Conclusão sobre continuidade das parciais e diferenciabilidade. Juntando: f_x e f_y existem em todo \mathbb{R}^{2} e são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}. Um teorema padrão de cálculo multivariado afirma que se as derivadas parciais existem numa vizinhança de um ponto e são contínuas naquele ponto, então a função é diferenciável nesse ponto. Como isso vale para todo ponto de \mathbb{R}^{2}, concluímos que f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.

Resposta

(a) \displaystyle f_x(x,y)=\frac{2x^{3}\big(x^{2}+2y^{2}\big)}{(x^{2}+y^{2})^{2}},\qquad f_y(x,y)=-\frac{2x^{4}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} para (x,y)\neq(0,0).\n
(b) \displaystyle f_x(0,0)=0,\qquad f_y(0,0)=0.\n
(c) f_x e f_y são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}; portanto f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.

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