Calcule
, onde
Passo 1
O enunciado dá a função
e a curva
parametrizada por
, com
.
Há uma ambiguidade na notação : não está claro o que significa o diferencial
. Vou adotar a interpretação mais provável e prática para este tipo de exercício: interpretar
como o diferencial da coordenada
, ou seja, calcular a integral de linha
Há uma ambiguidade na notação
Se você tiver outra interpretação da notação (por exemplo
,
ou
), me avise depois; aqui seguirei com
.
Passo 2
Definição e fórmula prática: para uma curva parametrizada
com
, a integral de linha em relação a
é
Explicando cada coisa:
-
é a função avaliada ao longo da curva (ou seja, substituímos pelas componentes da parametrização). -
é a derivada da primeira componente em relação a . - Integramos no intervalo de parâmetros
que percorre a curva, aqui .
Passo 3
Agora aplicamos isso ao nosso caso. Das componentes da parametrização temos:
Calculamos a derivada da primeira componente:
Passo 4
Avaliaremos
ao longo da curva:
Multiplicando por
obtemos o integrando da integral em
:
Passo 5
Montamos a integral definida em
no intervalo
:
Agora integramos. Uma primitiva de
é
, porque derivando
obtemos
. Portanto
Passo 6
Avaliamo a primitiva nos extremos:
Colocando em denominador comum: