Calcule \int_{c} f \cdot d e, onde
f(x, y, z)=\frac{1}{y^{3}}
c \rightarrow \vec{\gamma}(t)=(\ln t, t, 2)
t \in[1,2]

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=\dfrac{1}{y^{3}} e a curva c parametrizada por \vec{\gamma}(t)=(\ln t,\; t,\; 2), com t\in[1,2].
Há uma ambiguidade na notação \int_{c} f\cdot d e: não está claro o que significa o diferencial d e. Vou adotar a interpretação mais provável e prática para este tipo de exercício: interpretar d e como o diferencial da coordenada x, ou seja, calcular a integral de linha
\int_{c} f\,dx.
Se você tiver outra interpretação da notação (por exemplo dy, dz ou \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}), me avise depois; aqui seguirei com \int_{c} f\,dx.

Passo 2

Definição e fórmula prática: para uma curva parametrizada \vec{\gamma}(t)=(x(t),y(t),z(t)) com t\in[a,b], a integral de linha em relação a x é
\int_{c} f\,dx = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,x'(t)\,dt.
Explicando cada coisa:
  • f\big(x(t),y(t),z(t)\big) é a função f avaliada ao longo da curva (ou seja, substituímos x,y,z pelas componentes da parametrização).
  • x'(t) é a derivada da primeira componente x(t) em relação a t.
  • Integramos no intervalo de parâmetros t que percorre a curva, aqui [1,2].

Passo 3

Agora aplicamos isso ao nosso caso. Das componentes da parametrização temos:
x(t)=\ln t,\qquad y(t)=t,\qquad z(t)=2.
Calculamos a derivada da primeira componente:
x'(t)=\frac{d}{dt}\big(\ln t\big)=\frac{1}{t}.

Passo 4

Avaliaremos f ao longo da curva:
f\big(x(t),y(t),z(t)\big)=\frac{1}{\big(y(t)\big)^{3}}=\frac{1}{t^{3}}.
Multiplicando por x'(t) obtemos o integrando da integral em t:
f\big(\gamma(t)\big)\,x'(t)=\frac{1}{t^{3}}\cdot\frac{1}{t}=\frac{1}{t^{4}}.

Passo 5

Montamos a integral definida em t no intervalo [1,2]:
\int_{c} f\,dx = \int_{1}^{2}\frac{1}{t^{4}}\,dt.
Agora integramos. Uma primitiva de t^{-4} é -\tfrac{1}{3}t^{-3}, porque derivando -\tfrac{1}{3}t^{-3} obtemos t^{-4}. Portanto
\int_{1}^{2}\frac{1}{t^{4}}\,dt=\left[-\frac{1}{3}t^{-3}\right]_{1}^{2}.

Passo 6

Avaliamo a primitiva nos extremos:
-\frac{1}{3}\cdot 2^{-3} -\left(-\frac{1}{3}\cdot 1^{-3}\right) = -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{8} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{24} + \frac{1}{3}.
Colocando em denominador comum:
\frac{1}{3} - \frac{1}{24} = \frac{8}{24} - \frac{1}{24} = \frac{7}{24}.

Resposta

\dfrac{7}{24}

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