Calcule \int_{\eta} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d l}
f(x, y)=\left(x^{3}-3 x y^{2},-3 x^{2} y+y\right)
\eta \rightarrow \vec{n}(t)=\left(\cos ^{3} t, \operatorname{sen}^{3} t\right)
t \in[0, \pi / 6]

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule \displaystyle \int_{\eta} \vec{F}\cdot \overrightarrow{d l}, onde estão dadas as informações seguintes:
\vec{F}(x,y)=\bigl(x^{3}-3xy^{2},\,-3x^{2}y+y\bigr).
A curva \eta é dada pela parametrização
\vec{r}(t)=\bigl(\cos^{3}t,\;\sin^{3}t\bigr),
com t\in[0,\pi/6].
O que devo encontrar explicitamente é o valor numérico (exato) de \displaystyle \int_{\eta} \vec{F}\cdot \overrightarrow{d l}.

Passo 2

Primeiro vou decidir um método. Uma forma direta é parametrizar e calcular
\int_{0}^{\pi/6}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Outra forma (mais simples se funcionar) é verificar se \vec{F} é um campo conservativo (isto é, se existe uma função potencial \varphi com \nabla\varphi=\vec{F}). Se \vec{F} for conservativo em uma região simplesmente conectada que contém a curva, então vale o Teorema Fundamental das Integrais de Linha:
\int_{\eta}\vec{F}\cdot d\vec{l}=\varphi(\text{ponto final})-\varphi(\text{ponto inicial}).
Vou verificar se \vec{F} é conservativo porque isso normalmente economiza muito trabalho.
Para isso escrevo P(x,y)=x^{3}-3xy^{2} e Q(x,y)=-3x^{2}y+y. Calculo as derivadas parciais mistas:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}-3xy^{2}\bigr)=-6xy,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-3x^{2}y+y\bigr)=-6xy.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em toda \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{2} é simplesmente conexa, \vec{F} é conservativo e existe uma potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}. Então vou encontrar \varphi e usar a diferença de valores nos extremos da curva.

Passo 3

Procuro \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=x^{3}-3xy^{2}.
Integro essa igualdade em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y)=\int\bigl(x^{3}-3xy^{2}\bigr)\,dx=\frac{1}{4}x^{4}-\frac{3}{2}x^{2}y^{2}+g(y),
onde g(y) é uma função que depende só de y (a “constante” de integração em relação a x).
Expliquei: ao integrar x^{3} em x obtemos (1/4)x^{4}. Ao integrar -3xy^{2} em x (lembrando que y é constante) obtemos -3y^{2}\cdot (1/2)x^{2}=-(3/2)x^{2}y^{2}.

Passo 4

Agora uso a condição \partial \varphi/\partial y = Q(x,y). Primeiro computo \partial\varphi/\partial y a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{1}{4}x^{4}-\frac{3}{2}x^{2}y^{2}+g(y)\right)=-3x^{2}y+g'(y).
Mas deve valer \partial\varphi/\partial y=Q(x,y)=-3x^{2}y+y. Igualando,
-3x^{2}y+g'(y)=-3x^{2}y+y.
Cancelam-se os termos iguais em x, sobrando g'(y)=y. Integro g' em relação a y:
g(y)=\int y\,dy=\frac{1}{2}y^{2}+C,
onde C é constante (qualquer constante desaparece na diferença final \varphi(\text{fim})-\varphi(\text{início})í, então posso tomar C=0).

Passo 5

Assim a função potencial escolhida (ignorando a constante aditiva) é
\varphi(x,y)=\frac{1}{4}x^{4}-\frac{3}{2}x^{2}y^{2}+\frac{1}{2}y^{2}.
Reverificando: \phi_x=x^{3}-3xy^{2}=P e \phi_y=-3x^{2}y+y=Q, ok.

Passo 6

Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos conservativos, com \vec{r}(t) como parametrização de \eta e t indo de 0 a \pi/6,
\int_{\eta}\vec{F}\cdot d\vec{l}=\varphi\bigl(\vec{r}(\pi/6)\bigr)-\varphi\bigl(\vec{r}(0)\bigr).
Agora calculo os pontos extremos usando \vec{r}(t)=\bigl(\cos^{3}t,\sin^{3}t\bigr).
Para t=0:
\cos 0=1,\quad \sin 0=0\quad\Rightarrow\quad \vec{r}(0)=(1,0).
Para t=\pi/6:
\cos(\pi/6)=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin(\pi/6)=\frac{1}{2},
portanto
\vec{r}\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\left(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3},\;\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\right)=\left(\frac{3\sqrt{3}}{8},\;\frac{1}{8}\right).

Passo 7

Agora calculo \varphi nos dois pontos.
Primeiro em \vec{r}\!\left(\frac{\pi}{6}\right). Defino
x=\frac{3\sqrt{3}}{8},\qquad y=\frac{1}{8}.
Calculo as quantidades necessárias:
x^{2}=\left(\frac{3\sqrt{3}}{8}\right)^{2}=\frac{27}{64}, \qquad x^{4}=\left(\frac{27}{64}\right)^{2}=\frac{729}{4096},
y^{2}=\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}, \qquad x^{2}y^{2}=\frac{27}{64}\cdot\frac{1}{64}=\frac{27}{4096}.
Agora substituo em \varphi:
\varphi\!\left(\frac{3\sqrt{3}}{8},\frac{1}{8}\right) =\frac{1}{4}\cdot\frac{729}{4096}-\frac{3}{2}\cdot\frac{27}{4096}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{64}.
Vou colocar tudo no mesmo denominador 16384 para somar:
\frac{1}{4}\cdot\frac{729}{4096}=\frac{729}{16384},
\frac{3}{2}\cdot\frac{27}{4096}=\frac{81}{8192}=\frac{162}{16384},
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{64}=\frac{1}{128}=\frac{128}{16384}.
Somando com os sinais apropriados:
\varphi\!\left(\frac{3\sqrt{3}}{8},\frac{1}{8}\right)=\frac{729}{16384}-\frac{162}{16384}+\frac{128}{16384}=\frac{695}{16384}.
Agora em \vec{r}(0)=(1,0):
\varphi(1,0)=\frac{1}{4}\cdot 1^{4}-\frac{3}{2}\cdot 1^{2}\cdot 0^{2}+\frac{1}{2}\cdot 0^{2}=\frac{1}{4}.
Escrevendo \tfrac{1}{4} com denominador 16384: \tfrac{1}{4}=\tfrac{4096}{16384}.
Finalmente a integral é a diferença:
\int_{\eta}\vec{F}\cdot d\vec{l} =\varphi\!\left(\frac{3\sqrt{3}}{8},\frac{1}{8}\right)-\varphi(1,0) =\frac{695}{16384}-\frac{4096}{16384}=\frac{695-4096}{16384}=\frac{-3401}{16384}.

Resposta

-\dfrac{3401}{16384}

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