Calcule
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule
, onde estão dadas as informações seguintes:
A curva
é dada pela parametrização
com
.
O que devo encontrar explicitamente é o valor numérico (exato) de
.
Passo 2
Primeiro vou decidir um método. Uma forma direta é parametrizar e calcular
Outra forma (mais simples se funcionar) é verificar se
é um campo conservativo (isto é, se existe uma função potencial
com
). Se
for conservativo em uma região simplesmente conectada que contém a curva, então vale o Teorema Fundamental das Integrais de Linha:
Vou verificar se
é conservativo porque isso normalmente economiza muito trabalho.
Para isso escrevo
e
. Calculo as derivadas parciais mistas:
Como
em toda
e
é simplesmente conexa,
é conservativo e existe uma potencial
tal que
. Então vou encontrar
e usar a diferença de valores nos extremos da curva.
Passo 3
Procuro
tal que
Integro essa igualdade em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função que depende só de
(a “constante” de integração em relação a
).
Expliquei: ao integrar
em
obtemos
. Ao integrar
em
(lembrando que
é constante) obtemos
.
Passo 4
Agora uso a condição
. Primeiro computo
a partir da expressão encontrada:
Mas deve valer
. Igualando,
Cancelam-se os termos iguais em
, sobrando
. Integro
em relação a
:
onde
é constante (qualquer constante desaparece na diferença final
, então posso tomar
).
Passo 5
Assim a função potencial escolhida (ignorando a constante aditiva) é
Reverificando:
e
, ok.
Passo 6
Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos conservativos, com
como parametrização de
e
indo de
a
,
Agora calculo os pontos extremos usando
.
Para
:
Para
:
portanto
Passo 7
Agora calculo
nos dois pontos.
Primeiro em
. Defino
Calculo as quantidades necessárias:
Agora substituo em
:
Vou colocar tudo no mesmo denominador
para somar:
Somando com os sinais apropriados:
Agora em
:
Escrevendo
com denominador
:
.
Finalmente a integral é a diferença: