Considere a função
 
  Verifique se 
  é contínua em 
 .
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem uma função 
  que é definida de duas maneiras diferentes dependendo se o ponto 
  é 
  ou não. O exercício pede para verificar se essa função é contínua no ponto 
 . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular limites em funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. No caso de funções de duas variáveis, 
  é contínua no ponto 
  se o limite de 
  quando 
  se aproxima de 
  for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Então, para verificar se 
  é contínua em 
 , precisamos calcular o limite de 
  quando 
  se aproxima de 
  e ver se esse limite é igual a 
 .
Passo 3
Vamos calcular o limite de 
  quando 
  se aproxima de 
 . A função é dada por:
Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar coordenadas polares, onde 
  e 
 . Assim, 
  representa a distância do ponto 
  até 
 , e quando 
 , 
 .
Passo 4
Substituindo 
  e 
  por suas expressões em coordenadas polares na função 
 :
Vamos simplificar essa expressão:
Como 
 , podemos simplificar mais:
Passo 5
Agora, observamos que 
  e 
  são funções que, independentemente do valor de 
 , são sempre menores ou iguais a 1. Então, podemos dizer que:
Quando 
 , 
 . Portanto, pelo teorema do sanduíche, o limite de 
  quando 
  é 0.
Resposta
Como o limite de 
  quando 
  é igual a 
 , concluímos que a função 
  é contínua em 
 .