Considere a função f(x, y)=integralx^y exp (t^2) d t. Calcule as derivadas parciais fs, fr e fr s, no caso em que x=r s^4 e y=r^4 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e queremos encontrar as derivadas parciais , e quando e . Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função fx = -e^x^2 e fy = e^y^2 . Ela é definida como uma integral definida de de até . Para encontrar as derivadas parciais de em relação a e , usamos o Teorema Fundamental do Cálculo. As derivadas parciais são:
O sinal negativo em vem porque está no limite inferior da integral.

Passo 3

Agora, queremos encontrar fs = fx cdot partial xpartial s + fy cdot partial ypartial s e partial xpartial s = 4 r s^3 . Para isso, usamos a regra da cadeia, já que partial ypartial s = r^4 e fs = -e^(r s^4)^2 cdot 4 r s^3 + e^(r^4 s)^2 cdot r^4 são funções de fs = -4 r s^3 e^r^2 s^8 + r^4 e^r^8 s^2 e .
Vamos começar com :
Sabemos que , então:
E , então:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos encontrar fr = fx cdot partial xpartial r + fy cdot partial ypartial r usando a mesma abordagem:
partial xpartial r = s^4
Calculando as derivadas parciais:
partial ypartial r = 4 r^3 s
fr = -e^(r s^4)^2 cdot s^4 + e^(r^4 s)^2 cdot 4 r^3 s
Substituindo:
fr = -s^4 e^r^2 s^8 + 4 r^3 s e^r^8 s^2
Simplificando:

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a derivada mista fr = -s^4 e^r^2 s^8 + 4 r^3 s e^r^8 s^2 , que é a derivada de partialpartial s ( -s^4 e^r^2 s^8 ) = -4 s^3 e^r^2 s^8 - s^4 e^r^2 s^8 cdot 8 r^2 s^7 em relação a = -4 s^3 e^r^2 s^8 - 8 r^2 s^11 e^r^2 s^8 . Vamos derivar a expressão que encontramos para partialpartial s ( 4 r^3 s e^r^8 s^2 ) = 4 r^3 e^r^8 s^2 + 4 r^3 s e^r^8 s^2 cdot 2 r^8 s :
= 4 r^3 e^r^8 s^2 + 8 r^11 s^2 e^r^8 s^2
Derivando cada termo em relação a frs = -4 s^3 e^r^2 s^8 - 8 r^2 s^11 e^r^2 s^8 + 4 r^3 e^r^8 s^2 + 8 r^11 s^2 e^r^8 s^2 :
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Juntando tudo:

Resposta

As derivadas parciais são:
fs = -4 r s^3 e^r^2 s^8 + r^4 e^r^8 s^2
fr = -s^4 e^r^2 s^8 + 4 r^3 s e^r^8 s^2
frs = -4 s^3 e^r^2 s^8 - 8 r^2 s^11 e^r^2 s^8 + 4 r^3 e^r^8 s^2 + 8 r^11 s^2 e^r^8 s^2

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