Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar a série numérica como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar usar testes de convergência de séries numéricas, que nos ajudam a determinar se a soma infinita realmente chega a um valor finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série em termos absolutos, ou seja, ignorando o . Isso nos dá a série . Queremos verificar se essa série converge ou diverge.
Passo 3
Para determinar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Razão, que é útil quando temos potências envolvendo . O teste da razão considera o limite:
Se an+1an = 7^3(n+1)+1(ln (n+1))^n+1 times (ln n)^n7^3n+1 = 7^3n+47^3n+1 times (ln n)^n(ln (n+1))^n+1 = 7^3 times (ln n)^n(ln (n+1))^n+1 , a série converge absolutamente. Se an+1an = 343 times ( ln nln (n+1) )^n times 1ln (n+1) , a série diverge. Se L = limn to infty 343 times ( ln nln (n+1) )^n times 1ln (n+1) , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite para nossa série:
ln nln (n+1) approx 1
Então,
( ln nln (n+1) )^n approx 1^n = 1
Simplificando:
1ln (n+1) to 0 quando n to infty
Agora, vamos calcular o limite quando L = 343 times 1 times 0 = 0 tende ao infinito:
Sabemos que para grande, então:
Portanto,
E,
Assim,
Passo 4
Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série é absolutamente convergente.