Considere a função
(b) Esboce as curvas de nível nos níveis
e
.
(b) Esboce as curvas de nível nos níveis
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com a função $ f(x, y) = e{-(x{2} + y^{2})} $. Nosso objetivo é desenhar as curvas de nível para os valores $ f(x, y) = 1 $, $ f(x, y) = \frac{1}{2} $ e $ f(x, y) = \frac{1}{4} $. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções de duas variáveis e curvas de nível, que são como “contornos” que mostram onde a função assume determinados valores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Basicamente, para cada valor $ c $, a curva de nível $ f(x, y) = c $ representa todos os pontos
onde a função iguala a $ c $. É uma forma de visualizar a função no plano.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as equações das curvas de nível para os valores dados. Temos:
- Para $ f(x, y) = 1 $:
- Para $ f(x, y) = \frac{1}{2} $:
- Para $ f(x, y) = \frac{1}{4} $:
Passo 4
Vamos resolver essas equações para $ x^{2} + y^{2} $:
-
$ e{-(x{2} + y^{2})} = 1 $
Isso significa que só há uma solução: o ponto. -
$ e{-(x{2} + y^{2})} = \frac{1}{2} $
-
$ e{-(x{2} + y^{2})} = \frac{1}{4} $
Passo 5
Observamos que as equações das curvas de nível, exceto para $ f(x, y) = 1 $, são círculos centrados na origem com raio $ \sqrt{\ln(2)} $ e $ \sqrt{\ln(4)} $, respectivamente.
Resposta
As curvas de nível para a função $ f(x, y) = e{-(x{2} + y^{2})} $ são:
- Para $ f(x, y) = 1 $: o ponto
. - Para $ f(x, y) = \frac{1}{2} $: um círculo centrado na origem com raio $ \sqrt{\ln(2)} $.
- Para $ f(x, y) = \frac{1}{4} $: um círculo centrado na origem com raio $ \sqrt{\ln(4)} $.