Considere a função f(x, y)=e^-(x^2+y^2)
(b) Esboce as curvas de nível nos níveis f(x, y)=1 f(x, y)=1 / 2 e f(x, y)=1 / 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com a função $ f(x, y) = e{-(x{2} + y^{2})} $. Nosso objetivo é desenhar as curvas de nível para os valores $ f(x, y) = 1 $, $ f(x, y) = \frac{1}{2} $ e $ f(x, y) = \frac{1}{4} $. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções de duas variáveis e curvas de nível, que são como “contornos” que mostram onde a função assume determinados valores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Basicamente, para cada valor $ c $, a curva de nível $ f(x, y) = c $ representa todos os pontos c onde a função iguala a $ c $. É uma forma de visualizar a função no plano.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as equações das curvas de nível para os valores dados. Temos:
  1. Para $ f(x, y) = 1 $:
f(x, y) = 1
  1. Para $ f(x, y) = \frac{1}{2} $:
e^-(x^2 + y^2) = 1
  1. Para $ f(x, y) = \frac{1}{4} $:
f(x, y) = 12

Passo 4

Vamos resolver essas equações para $ x^{2} + y^{2} $:
  1. $ e{-(x{2} + y^{2})} = 1 $
    x^2 + y^2
    e^-(x^2 + y^2) = 1
    -(x^2 + y^2) = ln(1)
    Isso significa que só há uma solução: o ponto -(x^2 + y^2) = 0 .
  2. $ e{-(x{2} + y^{2})} = \frac{1}{2} $
    x^2 + y^2 = 0
    (0, 0)
  3. $ e{-(x{2} + y^{2})} = \frac{1}{4} $
    e^-(x^2 + y^2) = 12
    -(x^2 + y^2) = ln(12)

Passo 5

Observamos que as equações das curvas de nível, exceto para $ f(x, y) = 1 $, são círculos centrados na origem com raio $ \sqrt{\ln(2)} $ e $ \sqrt{\ln(4)} $, respectivamente.

Resposta

As curvas de nível para a função $ f(x, y) = e{-(x{2} + y^{2})} $ são:
  • Para $ f(x, y) = 1 $: o ponto f(x, y) = e^-(x^2 + y^2) .
  • Para $ f(x, y) = \frac{1}{2} $: um círculo centrado na origem com raio $ \sqrt{\ln(2)} $.
  • Para $ f(x, y) = \frac{1}{4} $: um círculo centrado na origem com raio $ \sqrt{\ln(4)} $.

Exercícios relacionados