Calcule a integral integral duplaB x^2 e^-(x^2+y^2)^2 d x d y, onde B=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= R^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaB x^2 e^-(x^2+y^2)^2,dx,dy, onde B é o disco x^2+y^2 <= R^2. O conteúdo aqui envolve mudança para coordenadas polares e uso de substituição para a parte radial.

Passo 2

Em coordenadas polares usamos x = rcostheta, y = rsintheta e dx,dy = r,dr,dtheta. A integral fica
integral0^2piintegral0^R (rcostheta)^2 e^-r^4,r,dr,dtheta = integral0^2piintegral0^R r^3cos^2theta,e^-r^4,dr,dtheta

Passo 3

Podemos separar a parte angular da radial:
l(integral0^2picos^2theta,dthetar)l(integral0^R r^3e^-r^4,drr)

Passo 4

Calcule a integral angular sabendo que integral0^2picos^2theta,dtheta = pi.
Para a parte radial use a substituição u = r^4, de modo que du = 4r^3dr e r=0to u=0, r=Rto u=R^4. Assim
integral0^R r^3e^-r^4,dr = 14integral0^R^4e^-u,du = 14l(1 - e^-R^4r)

Passo 5

Multiplicando a parte angular pi pela radial tfrac14(1 - e^-R^4) obtemos o resultado final.

Resposta

pi4l(1 - e^-R^4r)

Exercícios relacionados