Considere a função f(x, y)=2 e^{x} \operatorname{sen}(y).
(a) Verifique se a função f satisfaz a equação de Laplace
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0
(b) Encontre a taxa de variação de f na origem na direção e sentido do vetor \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=2e^{x}\sin(y)
e pede:
  1. Verificar se f satisfaz a equação de Laplace
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=0.
  1. Encontrar a taxa de variação de f na origem na direção e sentido do vetor \vec v=\vec i+\vec j.
    Para isso vamos usar cálculo de derivadas parciais de segunda ordem (para Laplace) e derivada direcional via gradiente (para taxa de variação).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de segunda ordem de f:
Primeiro,
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2e^{x}\sin(y)\bigr) =2e^{x}\sin(y),
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2e^{x}\sin(y)\bigr) =2e^{x}\sin(y).
Em seguida,
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2e^{x}\sin(y)\bigr) =2e^{x}\cos(y),
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2e^{x}\cos(y)\bigr) =-2e^{x}\sin(y).
Somando, obtemos
f_{xx}(x,y)+f_{yy}(x,y) =2e^{x}\sin(y)-2e^{x}\sin(y)=0.
Logo, f satisfaz a equação de Laplace.

Passo 3

Para a derivada direcional em (0,0) na direção de \vec v=\vec i+\vec j fazemos:
  1. Gradiente de f:
\nabla f(x,y)=\bigl(f_{x}(x,y),\,f_{y}(x,y)\bigr) =\bigl(2e^{x}\sin(y),\,2e^{x}\cos(y)\bigr).
Em (0,0) vale
\nabla f(0,0)=(2\cdot1\cdot0,\;2\cdot1\cdot1)=(0,2).
  1. Vetor unidade na direção de \vec v:
\vec u=\frac{\vec v}{\|\vec v\|} =\frac{(1,1)}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} =\Bigl(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\Bigr).
  1. Derivada direcional:
D_{\vec u}f(0,0) =\nabla f(0,0)\cdot\vec u =(0,2)\cdot\Bigl(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\Bigr) =\frac{2}{\sqrt2} =\sqrt2.

Resposta

(a) Sim, \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=0.
(b) A taxa de variação é \sqrt2.

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