Considere a função
no quadrado unitário
.
(a) Encontre os valores máximo e mínimo de
em cada aresta do quadrado.
(b) Encontre os valores máximos e mínimo de
em cada diagonal do quadrado.
(c) Encontre os valores máximo e mínimo de
no quadrado inteiro.
(a) Encontre os valores máximo e mínimo de
(b) Encontre os valores máximos e mínimo de
(c) Encontre os valores máximo e mínimo de
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no quadrado unitário com
Pede três coisas:
(a) para cada aresta do quadrado, encontrar os valores máximo e mínimo de restrita a essa aresta (ou seja, sobre o segmento correspondente);
(b) para cada diagonal do quadrado, encontrar os valores máximo e mínimo de restrita à diagonal;
(c) os valores máximos e mínimos de em todo o quadrado (domínio fechado).
(a) para cada aresta do quadrado, encontrar os valores máximo e mínimo de
(b) para cada diagonal do quadrado, encontrar os valores máximo e mínimo de
(c) os valores máximos e mínimos de
Informações relevantes que temos desde já: o domínio é compacto (fechado e limitado) então
atinge máximo e mínimo; as arestas e diagonais são segmentos fechados onde procuraremos extremos unidimensionais; também devemos verificar pontos críticos interiores (onde o gradiente é zero).
Passo 2
Estratégia geral para restrições unidimensionais (aresta ou diagonal): parametrize a aresta/diagonal por um único parâmetro
em um intervalo fechado, obter uma função de uma variável
e então:
- calcular
e resolver para possíveis extremos interiores; - avaliar
nos pontos críticos interiores (se caírem no intervalo) e também nos extremos do intervalo (endpoints); - comparar esses valores para decidir máximo e mínimo sobre o segmento.
Explicando por que isso funciona (curtinho): numa função de uma variável contínua num intervalo fechado, extremos ocorrem em pontos críticos (derivada zero) ou nas pontas do intervalo.
Agora vamos aplicar esse procedimento em cada aresta.
Passo 3
Aresta
com
. Restrição:
Isto é uma função unidimensional
no intervalo
.
Calcule a derivada:
Calcule a derivada:
A equação
dá
(ponto crítico interior quando estiver no intervalo). Avaliando:
Comparando
e
: o máximo em
ocorre em
com valor
; o mínimo ocorre em
com valor
.
Passo 4
Aresta
com
. Restrição:
Defina
. Derivada:
Resolver
dá
que está dentro de
. Avaliamos nos candidatos
:
Calculemos com calma:
Somando:
E
Comparando
,
,
: o máximo na aresta
é
em
; o mínimo é
em
.
Passo 5
Aresta
com
. Restrição:
Função unidimensional
. Derivada:
Logo na aresta
o mínimo é
em
e o máximo é
em
.
Passo 6
Aresta
com
. Restrição:
Defina
. Derivada:
Resolver
dá
, que NÃO pertence ao intervalo
. Quando a derivada não anula no intervalo, o extremo ocorre nas pontas. Avaliando:
Assim, na aresta
o mínimo é
em
e o máximo é
em
.
Passo 7
Resumo parcial (arestas): coletando os resultados que já temos — é bom olhar depois para ver o candidato global.
- Aresta
: máximo em , mínimo em . - Aresta
: máximo em , mínimo em . - Aresta
: máximo em , mínimo em . - Aresta
: máximo em , mínimo em .
Observação: alguns pontos aparecem em mais de uma aresta (cantos), por exemplo
,
,
,
. Agora vamos às diagonais.
Passo 8
Diagonal principal
, com
. Substituindo:
Isto é
. Derivada
que é zero em
. Avaliando:
Logo na diagonal
o mínimo é
em
e o máximo é
em
.
Passo 9
Outra diagonal
, com
. Substituindo:
Vamos expandir com calma. Primeiro
então
E
Somando as partes:
Portanto a restrição é
Derivada:
Resolver
dá
, que não pertence a
. Como
em todo
(porque para
temos
),
é crescente no intervalo. Então extremos nas pontas:
Logo na diagonal
o mínimo é
em
e o máximo é
em
.
Passo 10
Agora precisamos avaliar possíveis extremos no interior do quadrado. Para isso usamos derivadas parciais (gradiente). Calcule as derivadas parciais de
:
Pontos críticos interiores satisfazem o sistema
Vamos resolver: da primeira equação
então
. Substituindo na segunda:
Isso dá
. Logo há um único ponto crítico interior:
. Avaliando:
Passo 11
Classificação do ponto crítico usando a matriz Hessiana (para entender se é máximo, mínimo ou sela). Hessiana de
:
Onde
. O determinante de
é
Como
, temos um ponto de sela (saddle point) em
: não é nem máximo nem mínimo local. Portanto quaisquer candidatos a máximo ou mínimo global devem estar na fronteira do quadrado (arestas), que já investigamos.]
Passo 12
Agora coletamos todos os valores candidatos obtidos nas arestas e nos pontos críticos e escolhemos os extremos globais:
Valores notáveis que encontramos:
Valores notáveis que encontramos:
O maior valor é
em
. O menor valor é
em
. Não há outro valor menor que
nem maior que
nos pontos verificados (arestas, diagonais e ponto crítico interior).
Resposta
(a) Aresta
: máximo
em
, mínimo
em
.
Aresta : máximo
em
, mínimo
em
.
Aresta : máximo
em
, mínimo
em
.
Aresta : máximo
em
, mínimo
em
.
Aresta
Aresta
Aresta
(b) Diagonal
: mínimo
em
, máximo
em
.
Diagonal : mínimo
em
, máximo
em
.
Diagonal
(c) No quadrado inteiro: máximo global
em
; mínimo global
em
.