Considere a função
f(x, y)=4 x^{2}-3 y^{2}+2 x y
no quadrado unitário 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1.
(a) Encontre os valores máximo e mínimo de f em cada aresta do quadrado.
(b) Encontre os valores máximos e mínimo de f em cada diagonal do quadrado.
(c) Encontre os valores máximo e mínimo de f no quadrado inteiro.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=4x^{2}-3y^{2}+2xy
definida no quadrado unitário com
0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le 1.
Pede três coisas:
(a) para cada aresta do quadrado, encontrar os valores máximo e mínimo de f restrita a essa aresta (ou seja, sobre o segmento correspondente);
(b) para cada diagonal do quadrado, encontrar os valores máximo e mínimo de f restrita à diagonal;
(c) os valores máximos e mínimos de f em todo o quadrado (domínio fechado).
Informações relevantes que temos desde já: o domínio é compacto (fechado e limitado) então f atinge máximo e mínimo; as arestas e diagonais são segmentos fechados onde procuraremos extremos unidimensionais; também devemos verificar pontos críticos interiores (onde o gradiente é zero).

Passo 2

Estratégia geral para restrições unidimensionais (aresta ou diagonal): parametrize a aresta/diagonal por um único parâmetro t em um intervalo fechado, obter uma função de uma variável g(t) e então:
  • calcular g'(t) e resolver g'(t)=0 para possíveis extremos interiores;
  • avaliar g nos pontos críticos interiores (se caírem no intervalo) e também nos extremos do intervalo (endpoints);
  • comparar esses valores para decidir máximo e mínimo sobre o segmento.
Explicando por que isso funciona (curtinho): numa função de uma variável contínua num intervalo fechado, extremos ocorrem em pontos críticos (derivada zero) ou nas pontas do intervalo.
Agora vamos aplicar esse procedimento em cada aresta.

Passo 3

Aresta x=0 com 0\le y\le 1. Restrição:
f(0,y) = 4\cdot 0^{2} -3y^{2} +2\cdot 0\cdot y = -3y^{2}.
Isto é uma função unidimensional g(y)=-3y^{2} no intervalo [0,1].
Calcule a derivada:
g'(y) = -6y.
A equação g'(y)=0 y=0 (ponto crítico interior quando estiver no intervalo). Avaliando:
g(0)=0,\qquad g(1)=-3.
Comparando 0 e -3: o máximo em x=0 ocorre em y=0 com valor 0; o mínimo ocorre em y=1 com valor -3.

Passo 4

Aresta x=1 com 0\le y\le 1. Restrição:
f(1,y) = 4\cdot 1^{2} -3y^{2} +2\cdot 1\cdot y = 4 -3y^{2} +2y.
Defina g(y)=4 -3y^{2} +2y. Derivada:
g'(y) = -6y +2.
Resolver g'(y)=0
-6y+2=0 \implies y=\frac{1}{3},
que está dentro de [0,1]. Avaliamos nos candidatos y=0,y=\tfrac{1}{3},y=1:
g(0)=4,\qquad g\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=4 -3\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2} +2\left(\tfrac{1}{3}\right).
Calculemos com calma:
-3\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2} = -3\cdot \tfrac{1}{9} = -\tfrac{1}{3},\qquad 2\left(\tfrac{1}{3}\right)=\tfrac{2}{3}.
Somando:
g\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=4 -\tfrac{1}{3} +\tfrac{2}{3} =4+\tfrac{1}{3}=\tfrac{13}{3}.
E
g(1)=4 -3 +2 =3.
Comparando \tfrac{13}{3}\approx 4{,}333, 4, 3: o máximo na aresta x=1 é \tfrac{13}{3} em y=\tfrac{1}{3}; o mínimo é 3 em y=1.

Passo 5

Aresta y=0 com 0\le x\le 1. Restrição:
f(x,0) = 4x^{2}.
Função unidimensional g(x)=4x^{2}. Derivada:
g'(x)=8x.
g'(x)=0 x=0 (ponto crítico no intervalo). Avaliando nos candidatos x=0 e x=1:
g(0)=0,\qquad g(1)=4.
Logo na aresta y=0 o mínimo é 0 em x=0 e o máximo é 4 em x=1.

Passo 6

Aresta y=1 com 0\le x\le 1. Restrição:
f(x,1) = 4x^{2} -3\cdot 1^{2} +2x\cdot 1 = 4x^{2} +2x -3.
Defina g(x)=4x^{2}+2x-3. Derivada:
g'(x)=8x+2.
Resolver g'(x)=0 x=-\tfrac{1}{4}, que NÃO pertence ao intervalo [0,1]. Quando a derivada não anula no intervalo, o extremo ocorre nas pontas. Avaliando:
g(0)=-3,\qquad g(1)=4+2-3=3.
Assim, na aresta y=1 o mínimo é -3 em x=0 e o máximo é 3 em x=1.

Passo 7

Resumo parcial (arestas): coletando os resultados que já temos — é bom olhar depois para ver o candidato global.
  • Aresta x=0: máximo 0 em (0,0), mínimo -3 em (0,1).
  • Aresta x=1: máximo \tfrac{13}{3} em (1,\tfrac{1}{3}), mínimo 3 em (1,1).
  • Aresta y=0: máximo 4 em (1,0), mínimo 0 em (0,0).
  • Aresta y=1: máximo 3 em (1,1), mínimo -3 em (0,1).
Observação: alguns pontos aparecem em mais de uma aresta (cantos), por exemplo (0,0), (1,0), (0,1), (1,1). Agora vamos às diagonais.

Passo 8

Diagonal principal y=x, com 0\le x\le 1. Substituindo:
f(x,x) = 4x^{2} -3x^{2} +2x^{2} = (4-3+2)x^{2} = 3x^{2}.
Isto é g(x)=3x^{2}. Derivada g'(x)=6x que é zero em x=0. Avaliando:
g(0)=0,\qquad g(1)=3.
Logo na diagonal y=x o mínimo é 0 em (0,0) e o máximo é 3 em (1,1).

Passo 9

Outra diagonal y=1-x, com 0\le x\le 1. Substituindo:
f(x,1-x) = 4x^{2} -3(1-x)^{2} +2x(1-x).
Vamos expandir com calma. Primeiro
(1-x)^{2} = 1 -2x + x^{2},
então
-3(1-x)^{2} = -3 +6x -3x^{2}.
E
2x(1-x)=2x -2x^{2}.
Somando as partes:
4x^{2} + (-3x^{2}) + (-2x^{2}) = -x^{2},
\text{termos em }x:\\\ 6x +2x = 8x,
\text{constante: } -3.
Portanto a restrição é
g(x) = -x^{2} +8x -3\qquad (0\le x\le 1).
Derivada:
g'(x) = -2x +8.
Resolver g'(x)=0 x=4, que não pertence a [0,1]. Como g'(x)>0 em todo [0,1] (porque para x\le 1 temos -2x+8\ge 6), g é crescente no intervalo. Então extremos nas pontas:
g(0)=-3,\qquad g(1)=-1+8-3=4.
Logo na diagonal y=1-x o mínimo é -3 em (0,1) e o máximo é 4 em (1,0).

Passo 10

Agora precisamos avaliar possíveis extremos no interior do quadrado. Para isso usamos derivadas parciais (gradiente). Calcule as derivadas parciais de f:
f_{x}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=8x+2y,
f_{y}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}=\,-6y+2x.
Pontos críticos interiores satisfazem o sistema
8x+2y=0,\qquad -6y+2x=0.
Vamos resolver: da primeira equação 2y=-8x então y=-4x. Substituindo na segunda:
-6(-4x)+2x=24x+2x=26x=0 \implies x=0.
Isso dá y=-4\cdot 0=0. Logo há um único ponto crítico interior: (0,0). Avaliando:
f(0,0)=0.

Passo 11

Classificação do ponto crítico usando a matriz Hessiana (para entender se é máximo, mínimo ou sela). Hessiana de f:
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\[4pt] f_{yx} & f_{yy}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 8 & 2 \\[4pt] 2 & -6 \end{pmatrix}.
Onde f_{xx}=8,\\ f_{xy}=f_{yx}=2,\\ f_{yy}=-6. O determinante de H é
\det H = 8\cdot(-6) - 2\cdot 2 = -48 -4 = -52.
Como \det H <0, temos um ponto de sela (saddle point) em (0,0): não é nem máximo nem mínimo local. Portanto quaisquer candidatos a máximo ou mínimo global devem estar na fronteira do quadrado (arestas), que já investigamos.]

Passo 12

Agora coletamos todos os valores candidatos obtidos nas arestas e nos pontos críticos e escolhemos os extremos globais:
Valores notáveis que encontramos:
-3,\\\ 0,\\\ 3,\\\ 4,\\ \tfrac{13}{3}\approx 4{,}333\ldots
O maior valor é \tfrac{13}{3} em (1,\tfrac{1}{3}). O menor valor é -3 em (0,1). Não há outro valor menor que -3 nem maior que \tfrac{13}{3} nos pontos verificados (arestas, diagonais e ponto crítico interior).

Resposta

(a) Aresta x=0: máximo 0 em (0,0), mínimo -3 em (0,1).
Aresta x=1: máximo \tfrac{13}{3} em \bigl(1,\tfrac{1}{3}\bigr), mínimo 3 em (1,1).
Aresta y=0: máximo 4 em (1,0), mínimo 0 em (0,0).
Aresta y=1: máximo 3 em (1,1), mínimo -3 em (0,1).
(b) Diagonal y=x: mínimo 0 em (0,0), máximo 3 em (1,1).
Diagonal y=1-x: mínimo -3 em (0,1), máximo 4 em (1,0).
(c) No quadrado inteiro: máximo global \dfrac{13}{3} em \bigl(1,\tfrac{1}{3}\bigr); mínimo global -3 em (0,1).

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