O enunciado dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Especificamente ele fornece:
\begin{cases} y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y = t e^{t},\\[4pt] y(0)=0,\\[4pt] y^{\prime}(0)=1. \end{cases}
O que é pedido: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.]
Passo 2
Primeiro passo padrão: resolver a equação homogênea associada (ou seja, sem o termo do lado direito). A equação homogênea é
y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=0.
Para resolver essa equação, procuramos soluções da forma y(t)=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica:
r^{2}-4r+4=0.
Essa é uma equação quadrática; vamos resolvê-la. O discriminante é (-4)^{2}-4\cdot1\cdot4=16-16=0, então há uma raiz dupla. A raiz é
r=\frac{4}{2}=2.
Quando a raiz r=2 é dupla (multiplicidade 2), a forma geral da solução da homogênea é
y_h(t)=(C_1 + C_2 t)e^{2t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Explicando rapidinho por que: para multiplicidade 2 aparece o fator adicional t multiplicando e^{2t}, garantindo duas soluções linearmente independentes e^{2t} e t e^{2t}.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular y_p(t) da equação completa
y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y = t e^{t}.
Vou usar o método dos coeficientes indeterminados, que funciona bem quando o lado direito é uma combinação de polinômios, exponenciais, senos e cossenos. Regra prática: se o lado direito é P_n(t)e^{\alpha t} (com P_n polinômio de grau n), tentamos
y_p(t) = e^{\alpha t} Q_n(t),
onde Q_n é um polinômio de mesmo grau com coeficientes indeterminados. Se e^{\alpha t} já é solução da homogênea (ou gera ressonância), multiplicamos por potências de t até eliminar a ressonância.
No nosso caso o lado direito é t e^{t}, ou seja P_1(t)e^{\alpha t} com \alpha=1 e grau 1. A raiz da característica é r=2, que não é \alpha=1, portanto não há ressonância. Assim tentamos
y_p(t)=e^{t}(A t + B),
com A e B constantes a determinar.
Passo 4
Calculemos y_p' e y_p'' passo a passo. Começando por
y_p(t)=e^{t}(A t + B).
Derivando (produto: derivada de e^{t} é e^{t}, derivada de At+B é A):
y_p'(t)=e^{t}(A t + B) + e^{t}A = e^{t}\big(A t + (A+B)\big).
Derivando novamente:
y_p''(t)=e^{t}\big(A t + (A+B)\big) + e^{t}A = e^{t}\big(A t + (2A+B)\big).
Agora substituímos y_p, y_p', y_p'' na esquerda da equação:
y_p'' -4y_p' +4y_p = e^{t}\big(A t + (2A+B)\big) -4 e^{t}\big(A t + (A+B)\big) +4 e^{t}\big(A t + B\big).
Fatorando e^{t} e combinando termos de t e constantes:
coeficiente de t: A -4A +4A = A(1-4+4)=A.
termo constante: (2A+B)-4(A+B)+4B = 2A+B-4A-4B+4B = -2A + B.
Portanto a combinação dá
y_p'' -4y_p' +4y_p = e^{t}\big(A t + (-2A + B)\big).
Queremos que isso seja igual ao lado direito t e^{t}. Igualando coeficientes (pois e^{t} é comum):
coeficiente de t: A = 1.
constante: -2A + B = 0.
Com A=1 segue B = 2. Logo
y_p(t)=e^{t}(t+2).
Passo 5
A solução geral da equação (soma da homogênea com a particular) é