Resolva PVI
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=t e^{t} \\\ y(0)=0 \\\ y^{\prime}(0)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Especificamente ele fornece:
\begin{cases} y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y = t e^{t},\\[4pt] y(0)=0,\\[4pt] y^{\prime}(0)=1. \end{cases}
O que é pedido: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.]

Passo 2

Primeiro passo padrão: resolver a equação homogênea associada (ou seja, sem o termo do lado direito). A equação homogênea é
y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=0.
Para resolver essa equação, procuramos soluções da forma y(t)=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica:
r^{2}-4r+4=0.
Essa é uma equação quadrática; vamos resolvê-la. O discriminante é (-4)^{2}-4\cdot1\cdot4=16-16=0, então há uma raiz dupla. A raiz é
r=\frac{4}{2}=2.
Quando a raiz r=2 é dupla (multiplicidade 2), a forma geral da solução da homogênea é
y_h(t)=(C_1 + C_2 t)e^{2t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Explicando rapidinho por que: para multiplicidade 2 aparece o fator adicional t multiplicando e^{2t}, garantindo duas soluções linearmente independentes e^{2t} e t e^{2t}.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p(t) da equação completa
y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y = t e^{t}.
Vou usar o método dos coeficientes indeterminados, que funciona bem quando o lado direito é uma combinação de polinômios, exponenciais, senos e cossenos. Regra prática: se o lado direito é P_n(t)e^{\alpha t} (com P_n polinômio de grau n), tentamos
y_p(t) = e^{\alpha t} Q_n(t),
onde Q_n é um polinômio de mesmo grau com coeficientes indeterminados. Se e^{\alpha t} já é solução da homogênea (ou gera ressonância), multiplicamos por potências de t até eliminar a ressonância.
No nosso caso o lado direito é t e^{t}, ou seja P_1(t)e^{\alpha t} com \alpha=1 e grau 1. A raiz da característica é r=2, que não é \alpha=1, portanto não há ressonância. Assim tentamos
y_p(t)=e^{t}(A t + B),
com A e B constantes a determinar.

Passo 4

Calculemos y_p' e y_p'' passo a passo. Começando por
y_p(t)=e^{t}(A t + B).
Derivando (produto: derivada de e^{t} é e^{t}, derivada de At+B é A):
y_p'(t)=e^{t}(A t + B) + e^{t}A = e^{t}\big(A t + (A+B)\big).
Derivando novamente:
y_p''(t)=e^{t}\big(A t + (A+B)\big) + e^{t}A = e^{t}\big(A t + (2A+B)\big).
Agora substituímos y_p, y_p', y_p'' na esquerda da equação:
y_p'' -4y_p' +4y_p = e^{t}\big(A t + (2A+B)\big) -4 e^{t}\big(A t + (A+B)\big) +4 e^{t}\big(A t + B\big).
Fatorando e^{t} e combinando termos de t e constantes:
coeficiente de t: A -4A +4A = A(1-4+4)=A.
termo constante: (2A+B)-4(A+B)+4B = 2A+B-4A-4B+4B = -2A + B.
Portanto a combinação dá
y_p'' -4y_p' +4y_p = e^{t}\big(A t + (-2A + B)\big).
Queremos que isso seja igual ao lado direito t e^{t}. Igualando coeficientes (pois e^{t} é comum):
coeficiente de t: A = 1.
constante: -2A + B = 0.
Com A=1 segue B = 2. Logo
y_p(t)=e^{t}(t+2).

Passo 5

A solução geral da equação (soma da homogênea com a particular) é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = (C_1 + C_2 t)e^{2t} + e^{t}(t+2).

Passo 6

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2. Primeira condição: y(0)=0. Calculando y(0):
y(0) = (C_1 + C_2\cdot 0)e^{0} + e^{0}(0+2) = C_1 + 2.
Impondo y(0)=0 obtemos
C_1 + 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_1 = -2.

Passo 7

Segunda condição: y'(0)=1. Precisamos de y'(t). Derivamos a expressão geral. Derivada de (C_1 + C_2 t)e^{2t}: usar produto:
\frac{d}{dt}\big((C_1 + C_2 t)e^{2t}\big) = C_2 e^{2t} + (C_1 + C_2 t)2 e^{2t} = e^{2t}\big(2C_1 + C_2 + 2C_2 t\big).
Já derivada de e^{t}(t+2) (já calculada antes para o caso A=1,B=2) é
\frac{d}{dt}\big(e^{t}(t+2)\big) = e^{t}(t+3).
Somando:
y'(t) = e^{2t}\big(2C_1 + C_2 + 2C_2 t\big) + e^{t}(t+3).
Avalie em t=0:
y'(0) = e^{0}\big(2C_1 + C_2 + 0\big) + e^{0}(0+3) = 2C_1 + C_2 + 3.
Impondo y'(0)=1 e usando C_1=-2:
2(-2) + C_2 + 3 = 1 \quad\Rightarrow\quad -4 + C_2 + 3 = 1 \quad\Rightarrow\quad C_2 -1 = 1.
Logo C_2 = 2.

Passo 8

Substituindo C_1=-2 e C_2=2 na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as duas condições iniciais:
y(t) = (-2 + 2t)e^{2t} + e^{t}(t+2).
Se quiser, pode também escrever como
y(t) = 2t e^{2t} -2 e^{2t} + t e^{t} + 2 e^{t},
mas a forma fatorada anterior está mais limpa.

Resposta

y(t)=(-2+2t)e^{2t}+e^{t}(t+2)

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