Considere a função
. Determine:
Para quais valores de
e
a função tem valor 2 .
Para quais valores de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: para quais valores de
e
a função tem valor
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Queremos o conjunto de pares
tais que , isto é, resolver a equação .
Passo 2
Escrevendo a condição pedida em forma de equação:
Isso define uma curva no plano
: o nível
de
. Para encontrar explicitamente os pontos dessa curva, podemos isolar
em função de
ou isolar
em função de
. Vou fazer as duas coisas porque cada forma tem vantagem prática na prova.
Passo 3
Isolando
em função de
. Subtraindo
de ambos os lados:
Para obter
tomamos a raiz quadrada (lembrando que raiz quadrada de um número negativo não é real). Assim:
Aqui aparece uma restrição de existência: o radicando deve ser não negativo, isto é
Como a função
é estritamente crescente em
, a desigualdade
equivale a
Conclusão desta forma: para qualquer
com
existem exatamente dois
(salvo no caso limite
em que os dois coincidem) dados por
. Em particular, se
então
.
Passo 4
Isolando
em função de
. Partindo de
, subtrai-se
:
Agora aplicamos a raiz cúbica (função cúbica é definida para todo real e é monotônica), obtendo
Aqui não há restrição adicional sobre
: para qualquer
o valor
é um número real e a raiz cúbica dele é um número real, logo para todo
existe exatamente um
que satisfaz a equação, dado por essa expressão. As duas descrições são equivalentes e úteis em contextos diferentes.
Passo 5
Interpretação geométrica e observações úteis para a prova:
- A solução é a curva no plano dada por
. - Forma prática 1 (mais conveniente para gerar
a partir de um dado): para todo ,
- Forma prática 2 (mais conveniente para gerar
a partir de um dado): para todo ,
com a observação de que em
ocorre
(ponto de topo da curva).
- Simetria: a curva é simétrica em relação ao eixo
porque aparece apenas como ; para cada há o mesmo para . - Exemplos rápidos para fixar a ideia:
- Se
então . - Se
então . - Se
então .
- Se
Resposta
ou equivalentemente