Considere a função f(x, y)=x^{2}+y^{3}. Determine:
Para quais valores de x e y a função tem valor 2 .

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+y^{3} e pede: para quais valores de x e y a função tem valor 2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=x^{2}+y^{3}.
  • Queremos o conjunto de pares (x,y) tais que f(x,y)=2, isto é, resolver a equação x^{2}+y^{3}=2.

Passo 2

Escrevendo a condição pedida em forma de equação:
x^{2}+y^{3}=2.
Isso define uma curva no plano (x,y): o nível 2 de f. Para encontrar explicitamente os pontos dessa curva, podemos isolar x em função de y ou isolar y em função de x. Vou fazer as duas coisas porque cada forma tem vantagem prática na prova.

Passo 3

Isolando x em função de y. Subtraindo y^{3} de ambos os lados:
x^{2}=2-y^{3}.
Para obter x tomamos a raiz quadrada (lembrando que raiz quadrada de um número negativo não é real). Assim:
x=\pm\sqrt{\,2-y^{3}\,}.
Aqui aparece uma restrição de existência: o radicando deve ser não negativo, isto é
2-y^{3}\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad y^{3}\le2.
Como a função t\mapsto t^{3} é estritamente crescente em \mathbb{R}, a desigualdade y^{3}\le2 equivale a
y\le\sqrt[3]{2}.
Conclusão desta forma: para qualquer y com y\le\sqrt[3]{2} existem exatamente dois x (salvo no caso limite y=\sqrt[3]{2} em que os dois coincidem) dados por x=\pm\sqrt{2-y^{3}}. Em particular, se y=\sqrt[3]{2} então x=0.

Passo 4

Isolando y em função de x. Partindo de x^{2}+y^{3}=2, subtrai-se x^{2}:
y^{3}=2-x^{2}.
Agora aplicamos a raiz cúbica (função cúbica é definida para todo real e é monotônica), obtendo
y=\sqrt[3]{\,2-x^{2}\,}.
Aqui não há restrição adicional sobre x: para qualquer x\in\mathbb{R} o valor 2-x^{2} é um número real e a raiz cúbica dele é um número real, logo para todo x\in\mathbb{R} existe exatamente um y que satisfaz a equação, dado por essa expressão. As duas descrições são equivalentes e úteis em contextos diferentes.

Passo 5

Interpretação geométrica e observações úteis para a prova:
  • A solução é a curva no plano dada por \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^{2}+y^{3}=2\}.
  • Forma prática 1 (mais conveniente para gerar y a partir de um x dado): para todo x\in\mathbb{R},
y=\sqrt[3]{\,2-x^{2}\,}.
  • Forma prática 2 (mais conveniente para gerar x a partir de um y dado): para todo y\le\sqrt[3]{2},
x=\pm\sqrt{\,2-y^{3}\,},
com a observação de que em y=\sqrt[3]{2} ocorre x=0 (ponto de topo da curva).
  • Simetria: a curva é simétrica em relação ao eixo y porque x aparece apenas como x^{2}; para cada x há o mesmo y para -x.
  • Exemplos rápidos para fixar a ideia:
    • Se x=0 então y=\sqrt[3]{2}.
    • Se x=1 então y=\sqrt[3]{1}=1.
    • Se x=2 então y=\sqrt[3]{-2}=-\sqrt[3]{2}.

Resposta

y=\sqrt[3]{\,2-x^{2}\,},\quad x\in\mathbb{R}
ou equivalentemente
x=\pm\sqrt{\,2-y^{3}\,},\quad y\le\sqrt[3]{2}

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