Sejam
e
.
Componha a função
com as funções coordenadas
e
. Depois, calcule diretamente da expressão obtida
;
Componha a função
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e as coordenadas
,
. A tarefa é compor
com
para obter
e em seguida calcular
usando regra do produto, cadeia e derivada de
.
Passo 2
Primeiro, fazemos as substituições e calculamos os termos intermediários:
-
-
-
Logo a parte exponencial fica, e .
Assim obtemos
Passo 3
Para simplificar, fatoramos
em
e usamos
:
Passo 4
Agora derivamos
, onde
e
com
.
Temos
Temos
e pela regra de derivada de
:
Passo 5
Aplicando a regra do produto
Passo 6
substituindo
e organizando, chega-se a
Passo 7
Por fim, a derivada de
é
. Somando tudo,
Resposta
[\displaystyle \frac{dz}{dt}=t{-4t2-4t4}\bigl(8t-16t(1+2t2)^2\ln t-8t(1+2t2)(1+t2)\bigr)+16t^3]