Sejam z(x, y)=x^x^2 y+x^2 y^2+y^2(y+y^2)+y^2, x(t)=t^-1 e y(t)=2 t^2.
Componha a função z(x, y) com as funções coordenadas x(t) e y(t). Depois, calcule diretamente da expressão obtida d zd t;

Passo 1

O enunciado nos dá a função z(x,y)=x^x^2y+x^2y^2+y^2(y+y^2)+y^2 e as coordenadas x(t)=t^-1, y(t)=2t^2. A tarefa é compor z com x(t),y(t) para obter h(t)=z(x(t),y(t)) e em seguida calcular tfracdzdt=h'(t) usando regra do produto, cadeia e derivada de a^u(t).

Passo 2

Primeiro, fazemos as substituições e calculamos os termos intermediários:
  • x^2y=(t^-1)^2cdot(2t^2)=2
  • x^2y^2=t^-2cdot(2t^2)^2=4t^2
  • y^2=(2t^2)^2=4t^4
    Logo a parte exponencial fica x^x^2y+x^2y^2+y^2=(t^-1)^2+4t^2+4t^4=t^-2-4t^2-4t^4, e y+y^2=2t^2+4t^4.
    Assim obtemos
h(t)=t^-2-4t^2-4t^4(2t^2+4t^4)+4t^4

Passo 3

Para simplificar, fatoramos 2t^2 em (2t^2+4t^4) e usamos (t^-1)^a=t^-a:
h(t)=2(1+2t^2),t^-4t^2-4t^4+4t^4

Passo 4

Agora derivamos h(t)=2U(t)V(t)+4t^4, onde U=1+2t^2 e V=t^u(t) com u(t)=-4t^2-4t^4.
Temos
U'=4t,
u'=-8t-16t^3=-8t(1+2t^2),
e pela regra de derivada de t^u(t):

Passo 5

Aplicando a regra do produto

Passo 6

substituindo U,U',V,V' e organizando, chega-se a
ddtl[2(1+2t^2)t^-4t^2-4t^4r] =t^-4t^2-4t^4l(8t-16t(1+2t^2)^2ln t-8t(1+2t^2)(1+t^2)r)

Passo 7

Por fim, a derivada de 4t^4 é 16t^3. Somando tudo,
dzdt=t^-4t^2-4t^4l(8t-16t(1+2t^2)^2ln t-8t(1+2t^2)(1+t^2)r)+16t^3

Resposta

[\displaystyle \frac{dz}{dt}=t{-4t2-4t4}\bigl(8t-16t(1+2t2)^2\ln t-8t(1+2t2)(1+t2)\bigr)+16t^3]

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