Considere a função f(x, y)=x^{2}+y^{2}-x y.
Determine se essa função possui máximos e mínimos locais.

Passo 1

O enunciado pede para investigar se a função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}-x\,y
possui pontos críticos que sejam máximos ou mínimos locais.
Isso envolve três ingredientes da Cálculo Multivariável:
1. Calcular o gradiente \nabla f e achar seus zeros (pontos críticos).
2. Calcular a matriz Hessiana H de f.
3. Usar o teste de definitude da Hessiana para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Vamos achar os pontos críticos, resolvendo \nabla f=0\). Temos \[\nabla f = \bigl(\partial_{x}f,\;\partial_{y}f\bigr) = \bigl(2x - y,\;2y - x\bigr).
Igualando a zero:
\begin{cases} 2x - y = 0,\\\\ 2y - x = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem y = 2x\]. Substituindo na segunda: \[2(2x)-x=0 \;\Longrightarrow\;4x - x = 0 \;\Longrightarrow\;3x=0 \;\Longrightarrow\;x=0\] e então \(y=2\cdot0=0.
Portanto, o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Agora avaliamos a Hessiana
H(x,y) =\begin{pmatrix} \partial_{xx}f & \partial_{xy}f\\[6pt] \partial_{yx}f & \partial_{yy}f \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & -1\\[3pt] -1 & 2 \end{pmatrix}.
Para testar se H é positiva definida em (0,0), checamos os menores determinantes principais:
1. O primeiro menor principal é \partial_{xx}f=2>0.
2. O determinante de H é
\det H = 2\cdot 2 - (-1)\cdot (-1) = 4 - 1 = 3 > 0.
Como ambos são positivos, H é positiva definida, o que implica que f tem um mínimo local em (0,0).]

Passo 4

Não há nenhum ponto onde a Hessiana seja negativa definida, e não surgem outros pontos críticos. Logo, não existem máximos locais nem pontos de sela.

Resposta

A função tem um único ponto crítico em (0,0), onde ocorre um mínimo local. Não há máximos locais.

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