Considere a função f(x, y)=x^{2}+y^{2}-x y.
Determine se essa função possui máximos e mínimos locais.
Passo 1
O enunciado pede para investigar se a função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}-x\,y
possui pontos críticos que sejam máximos ou mínimos locais.
Isso envolve três ingredientes da Cálculo Multivariável: 1. Calcular o gradiente \nabla f e achar seus zeros (pontos críticos). 2. Calcular a matriz Hessiana H de f. 3. Usar o teste de definitude da Hessiana para classificar cada ponto crítico.
Passo 2
Vamos achar os pontos críticos, resolvendo \nabla f=0\).
Temos
\[\nabla f = \bigl(\partial_{x}f,\;\partial_{y}f\bigr) = \bigl(2x - y,\;2y - x\bigr).
Igualando a zero:
\begin{cases} 2x - y = 0,\\\\ 2y - x = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem y = 2x\]. Substituindo na segunda:
\[2(2x)-x=0 \;\Longrightarrow\;4x - x = 0 \;\Longrightarrow\;3x=0 \;\Longrightarrow\;x=0\]
e então \(y=2\cdot0=0.
Portanto, o único ponto crítico é (0,0).
Para testar se H é positiva definida em (0,0), checamos os menores determinantes principais: 1. O primeiro menor principal é \partial_{xx}f=2>0. 2. O determinante de H é