Calcule a integral indefinida.
\int \frac{d x}{4 x+7}

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{dx}{4x+7},
que é do tipo \int \frac{dx}{ax+b}. Para resolver, vamos usar uma substituição linear e a propriedade da função logarítmica.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = 4x + 7.
Dessa forma
du = 4\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{4}.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int \frac{dx}{4x+7} = \int \frac{1}{u}\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int \frac{du}{u}.

Passo 4

Sabemos que
\int \frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert + C.
Logo
\int \frac{dx}{4x+7} = \frac{1}{4}\ln\lvert u\rvert + C.
Voltando à variável original ( u=4x+7), concluímos:

Resposta

\frac{1}{4}\ln\bigl\lvert 4x+7\bigr\rvert + C.

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