Considere a função
f(x, y)=x^{2} y+3 x y^{2}+\operatorname{sen}(x y)
Calcule as derivadas mistas f_{x y} e f_{y x} e verifique explicitamente que
f_{x y}(x, y)=f_{y x}(x, y)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}y+3xy^{2}+\operatorname{sen}(xy)
e pede para:
  • Calcular as derivadas mistas f_{xy} e f_{yx}.
  • Verificar explicitamente que f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é dada explicitamente em termos de x e y.
  • Não há restrição sobre x e y; a igualdade deve ser verificada simbolicamente para todo par (x,y).

Passo 2

Lembrete rápido e ferramentas que vamos usar (com explicação didática).
  • Derivada parcial em relação a x: ao calcular \dfrac{\partial}{\partial x} de uma expressão, tratamos y como constante. Analogamente, para \dfrac{\partial}{\partial y} tratamos x como constante.
  • Regra do produto (usada para produtos como u(x,y)\,v(x,y)):
\frac{\partial}{\partial x}\big(u\,v\big)=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Aqui \dfrac{\partial u}{\partial x} significa a derivada parcial de u em relação a x, mantendo y fixo.
  • Regra da cadeia (usada para composições como g(u(x,y))):
\frac{\partial}{\partial x}g(u(x,y))=g'(u(x,y))\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
No nosso caso, g será a função trigonométrica \operatorname{sen} ou \operatorname{cos} e u(x,y)=xy.
  • Derivadas básicas: \dfrac{d}{du}\operatorname{sen}(u)=\operatorname{cos}(u) e \dfrac{d}{du}\operatorname{cos}(u)=-\operatorname{sen}(u).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
  1. Derivada parcial de f em relação a x, isto é \dfrac{\partial f}{\partial x}=f_{x}.
  • Para x^{2}y: tratar y como constante → \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)=2x\,y.
  • Para 3xy^{2}: y^{2} é constante → \dfrac{\partial}{\partial x}(3xy^{2})=3y^{2}.
  • Para \operatorname{sen}(xy): aplicar regra da cadeia com u(x,y)=xy: \frac{\partial}{\partial x}\operatorname{sen}(xy)=\operatorname{cos}(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy)=\operatorname{cos}(xy)\cdot y.
Somando as parcelas:
f_{x}(x,y)=2x\,y+3y^{2}+y\,\operatorname{cos}(xy).
  1. Derivada parcial de f em relação a y, isto é \dfrac{\partial f}{\partial y}=f_{y}.
  • Para x^{2}y: x^{2} é constante → \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2}.
  • Para 3xy^{2}: tratar x como constante → \dfrac{\partial}{\partial y}(3xy^{2})=6x\,y.
  • Para \operatorname{sen}(xy): regra da cadeia com u(x,y)=xy: \frac{\partial}{\partial y}\operatorname{sen}(xy)=\operatorname{cos}(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy)=\operatorname{cos}(xy)\cdot x.
Somando:
f_{y}(x,y)=x^{2}+6x\,y+x\,\operatorname{cos}(xy).

Passo 4

Agora calculamos a derivada mista \dfrac{\partial}{\partial y}\big(f_{x}\big)=f_{xy}.
Partimos de
f_{x}(x,y)=2x\,y+3y^{2}+y\,\operatorname{cos}(xy).
Derivamos termo a termo em relação a y:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(2x\,y)=2x porque x é constante.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(3y^{2})=6y.
  • Para \dfrac{\partial}{\partial y}\big(y\,\operatorname{cos}(xy)\big) usamos a regra do produto com u(y)=y e v(y)=\operatorname{cos}(xy): \frac{\partial}{\partial y}\big(y\,\operatorname{cos}(xy)\big)=1\cdot\operatorname{cos}(xy)+y\cdot\frac{\partial}{\partial y}\operatorname{cos}(xy).Agora \dfrac{\partial}{\partial y}\operatorname{cos}(xy)= -\operatorname{sen}(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy)=-\operatorname{sen}(xy)\cdot x.
    Portanto \frac{\partial}{\partial y}\big(y\,\operatorname{cos}(xy)\big)=\operatorname{cos}(xy)-x\,y\,\operatorname{sen}(xy).
Somando tudo:
f_{xy}(x,y)=2x+6y+\operatorname{cos}(xy)-x\,y\,\operatorname{sen}(xy).

Passo 5

Agora calculamos a derivada mista na ordem inversa \dfrac{\partial}{\partial x}\big(f_{y}\big)=f_{yx}.
Partimos de
f_{y}(x,y)=x^{2}+6x\,y+x\,\operatorname{cos}(xy).
Derivamos termo a termo em relação a x:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(6x\,y)=6y porque y é constante.
  • Para \dfrac{\partial}{\partial x}\big(x\,\operatorname{cos}(xy)\big) usamos regra do produto com u(x)=x e v(x)=\operatorname{cos}(xy): \frac{\partial}{\partial x}\big(x\,\operatorname{cos}(xy)\big)=1\cdot\operatorname{cos}(xy)+x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{cos}(xy).E \dfrac{\partial}{\partial x}\operatorname{cos}(xy)= -\operatorname{sen}(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy)=-\operatorname{sen}(xy)\cdot y.
    Portanto \frac{\partial}{\partial x}\big(x\,\operatorname{cos}(xy)\big)=\operatorname{cos}(xy)-x\,y\,\operatorname{sen}(xy).
Somando:
f_{yx}(x,y)=2x+6y+\operatorname{cos}(xy)-x\,y\,\operatorname{sen}(xy).

Passo 6

Comparando as expressões obtidas em Passo 4 e Passo 5 vemos que são idênticas termo a termo. Logo, para todo (x,y),
f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y).
Observação intuitiva: isso ocorre porque f é formada por polinômios e pela função trigonométrica \operatorname{sen} composta com xy, todas funções infinitamente diferenciáveis; portanto as derivadas mistas são contínuas e a igualdade das derivadas cruzadas vale (isto é a condição de regularidade que justifica a troca da ordem de diferenciação).

Resposta

f_{xy}(x,y)=2x+6y+\operatorname{cos}(xy)-x\,y\,\operatorname{sen}(xy)\n
f_{yx}(x,y)=2x+6y+\operatorname{cos}(xy)-x\,y\,\operatorname{sen}(xy)

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