Considere a função
Calcule as derivadas mistas
e
e verifique explicitamente que
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para:
- Calcular as derivadas mistas
e . - Verificar explicitamente que
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é dada explicitamente em termos de
e . - Não há restrição sobre
e ; a igualdade deve ser verificada simbolicamente para todo par .
Passo 2
Lembrete rápido e ferramentas que vamos usar (com explicação didática).
- Derivada parcial em relação a
: ao calcular de uma expressão, tratamos como constante. Analogamente, para tratamos como constante. - Regra do produto (usada para produtos como
):
Aqui
significa a derivada parcial de
em relação a
, mantendo
fixo.
- Regra da cadeia (usada para composições como
):
No nosso caso,
será a função trigonométrica
ou
e
.
- Derivadas básicas:
e .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
- Derivada parcial de
em relação a , isto é .
- Para
: tratar como constante → . - Para
: é constante → . - Para
: aplicar regra da cadeia com :
Somando as parcelas:
- Derivada parcial de
em relação a , isto é .
- Para
: é constante → . - Para
: tratar como constante → . - Para
: regra da cadeia com :
Somando:
Passo 4
Agora calculamos a derivada mista
.
Partimos de
Derivamos termo a termo em relação a
:
-
porque é constante. -
. - Para
usamos a regra do produto com e : Agora .
Portanto
Somando tudo:
Passo 5
Agora calculamos a derivada mista na ordem inversa
.
Partimos de
Derivamos termo a termo em relação a
:
-
. -
porque é constante. - Para
usamos regra do produto com e : E .
Portanto
Somando:
Passo 6
Comparando as expressões obtidas em Passo 4 e Passo 5 vemos que são idênticas termo a termo. Logo, para todo
,
Observação intuitiva: isso ocorre porque
é formada por polinômios e pela função trigonométrica
composta com
, todas funções infinitamente diferenciáveis; portanto as derivadas mistas são contínuas e a igualdade das derivadas cruzadas vale (isto é a condição de regularidade que justifica a troca da ordem de diferenciação).