Considere a superfície dada explicitamente por
Determine:
a) a equação do plano tangente ao gráfico dessa superfície no ponto
;
b) as equações paramétricas da reta normal à superfície nesse mesmo ponto.
a) a equação do plano tangente ao gráfico dessa superfície no ponto
b) as equações paramétricas da reta normal à superfície nesse mesmo ponto.
Passo 1
O enunciado dá a superfície explícita
e o ponto indicado sobre o gráfico é
(observe que
, então o ponto realmente está na superfície).
O que o problema pede:
O que o problema pede:
- (a) a equação do plano tangente ao gráfico dessa superfície no ponto
; - (b) as equações paramétricas da reta normal à superfície nesse mesmo ponto.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A superfície é o gráfico de uma função de duas variáveis
. - O ponto de tangência/normal é
.
Passo 2
Entendendo o que é necessário calcular (sem ainda resolver): para o gráfico de uma função
existe uma fórmula padrão para o plano tangente em torno de um ponto
. Essa fórmula usa as derivadas parciais de
em
. Vou explicar passo a passo o que são derivadas parciais e por que elas aparecem.
O que são derivadas parciais:
- Se
depende de e , a derivada parcial em relação a , denotada , mede a taxa de variação de quando só muda e fica fixo. - Analogamente,
mede a taxa de variação de quando só muda e fica fixo.
Fórmula do plano tangente:
- O plano tangente ao gráfico de
no ponto é dado por
Aqui
e
são as derivadas parciais avaliadas no ponto.
Vou agora calcular essas derivadas para a nossa função e aplicar a fórmula.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Derivada parcial em relação a
:
- Ao derivar em relação a
, tratamos como constante. A derivada de em relação a é . A expressão é constante quando diferenciamos por , então sua derivada é . - Logo,
Derivada parcial em relação a
:
- Similarmente, ao derivar por
tratamos como constante. A derivada de em relação a é ; é constante e tem derivada . - Logo,
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
Usando as fórmulas encontradas:
Também verificação do valor de
no ponto:
coerente com a coordenada
dada.
Passo 5
Montar o plano tangente usando a fórmula do Passo 2 e os valores do Passo 4.
Aplicando
substituindo
,
e
, obtemos
Agora simplifico a expressão passo a passo:
Portanto essa é a equação do plano tangente (forma explícita).
Passo 6
Agora vamos construir a reta normal à superfície no mesmo ponto. Primeiro explico o que é normal e como obtê-la.
Conceito de vetor normal:
- A normal a uma superfície num ponto é um vetor perpendicular ao plano tangente nesse ponto.
- Para o gráfico
pode-se escrever a superfície também como nível da função . O gradiente de , , é perpendicular à superfície e, portanto, é um vetor normal. - Calculemos
. Como ,
Logo um vetor normal (não nulo) é
Passo 7
Calcular o vetor normal no ponto
usando os valores já encontrados:
logo um vetor normal é
Observação: qualquer múltiplo escalar desse vetor também é normal; por exemplo
é o mesmo vetor normal apenas com sinal trocado.
Passo 8
Construir as equações paramétricas da reta normal passando por
com direção
.
A reta normal em forma paramétrica é
Escrevendo componente a componente:
Também se pode apresentar em forma simétrica (opcional):
porém o enunciado pediu especificamente equações paramétricas, que já foram dadas acima.