Considere a superfície dada explicitamente por
z=x^{2}+y^{2}
Determine:
a) a equação do plano tangente ao gráfico dessa superfície no ponto (1,2,5);
b) as equações paramétricas da reta normal à superfície nesse mesmo ponto.

Passo 1

O enunciado dá a superfície explícita
z = x^{2}+y^{2}
e o ponto indicado sobre o gráfico é (1,2,5) (observe que 5=1^{2}+2^{2}, então o ponto realmente está na superfície).
O que o problema pede:
  • (a) a equação do plano tangente ao gráfico dessa superfície no ponto (1,2,5);
  • (b) as equações paramétricas da reta normal à superfície nesse mesmo ponto.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A superfície é o gráfico de uma função de duas variáveis f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • O ponto de tangência/normal é (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,2,5).

Passo 2

Entendendo o que é necessário calcular (sem ainda resolver): para o gráfico de uma função z=f(x,y) existe uma fórmula padrão para o plano tangente em torno de um ponto (x_{0},y_{0},z_{0}). Essa fórmula usa as derivadas parciais de f em (x_{0},y_{0}). Vou explicar passo a passo o que são derivadas parciais e por que elas aparecem.
O que são derivadas parciais:
  • Se f(x,y) depende de x e y, a derivada parcial em relação a x, denotada f_{x}(x,y), mede a taxa de variação de f quando só x muda e y fica fixo.
  • Analogamente, f_{y}(x,y) mede a taxa de variação de f quando só y muda e x fica fixo.
Fórmula do plano tangente:
  • O plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) é dado por
z = f(x_{0},y_{0}) + f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Aqui f_{x}(x_{0},y_{0}) e f_{y}(x_{0},y_{0}) são as derivadas parciais avaliadas no ponto.
Vou agora calcular essas derivadas para a nossa função e aplicar a fórmula.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Derivada parcial em relação a x:
  • Ao derivar em relação a x, tratamos y como constante. A derivada de x^{2} em relação a x é 2x. A expressão y^{2} é constante quando diferenciamos por x, então sua derivada é 0.
  • Logo,
f_{x}(x,y)=2x.
Derivada parcial em relação a y:
  • Similarmente, ao derivar por y tratamos x como constante. A derivada de y^{2} em relação a y é 2y; x^{2} é constante e tem derivada 0.
  • Logo,
f_{y}(x,y)=2y.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto (x_{0},y_{0})=(1,2).
Usando as fórmulas encontradas:
f_{x}(1,2)=2\cdot 1 = 2, \qquad f_{y}(1,2)=2\cdot 2 = 4.
Também verificação do valor de f no ponto:
f(1,2)=1^{2}+2^{2}=1+4=5,
coerente com a coordenada z_{0}=5 dada.

Passo 5

Montar o plano tangente usando a fórmula do Passo 2 e os valores do Passo 4.
Aplicando
z = f(1,2) + f_{x}(1,2)\,(x-1) + f_{y}(1,2)\,(y-2),
substituindo f(1,2)=5, f_{x}(1,2)=2 e f_{y}(1,2)=4, obtemos
z = 5 + 2\,(x-1) + 4\,(y-2).
Agora simplifico a expressão passo a passo:
z = 5 + 2x-2 + 4y-8,
z = 2x + 4y + (5-2-8),
z = 2x + 4y -5.
Portanto essa é a equação do plano tangente (forma explícita).

Passo 6

Agora vamos construir a reta normal à superfície no mesmo ponto. Primeiro explico o que é normal e como obtê-la.
Conceito de vetor normal:
  • A normal a uma superfície num ponto é um vetor perpendicular ao plano tangente nesse ponto.
  • Para o gráfico z=f(x,y) pode-se escrever a superfície também como nível da função G(x,y,z)=z-f(x,y)=0. O gradiente de G, \nabla G, é perpendicular à superfície e, portanto, é um vetor normal.
  • Calculemos \nabla G. Como G(x,y,z)=z-f(x,y),
G_{x} = -f_{x},\qquad G_{y} = -f_{y},\qquad G_{z}=1.
Logo um vetor normal (não nulo) é
\mathbf{n}=(-f_{x}(x_{0},y_{0}),\,-f_{y}(x_{0},y_{0}),\,1).

Passo 7

Calcular o vetor normal no ponto (1,2) usando os valores já encontrados:
f_{x}(1,2)=2,\qquad f_{y}(1,2)=4,
logo um vetor normal é
\mathbf{n}=(-2,\,-4,\,1).
Observação: qualquer múltiplo escalar desse vetor também é normal; por exemplo (2,4,-1) é o mesmo vetor normal apenas com sinal trocado.

Passo 8

Construir as equações paramétricas da reta normal passando por (1,2,5) com direção \mathbf{n}=(-2,-4,1).
A reta normal em forma paramétrica é
\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) = (1,2,5) + t\,(-2,-4,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Escrevendo componente a componente:
x(t)=1-2t, \qquad y(t)=2-4t, \qquad z(t)=5+t.
Também se pode apresentar em forma simétrica (opcional):
\frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z-5}{1},
porém o enunciado pediu especificamente equações paramétricas, que já foram dadas acima.

Resposta

z = 2x + 4y - 5
x(t)=1-2t,\;y(t)=2-4t,\;z(t)=5+t,\;t\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados