Suponha que uma função f(x, y) possua derivadas parciais de segunda ordem contínuas em uma vizinhança da origem e que ( 0,0 ) seja um ponto crítico. Considere o discriminante
Discuta o que o teste da segunda derivada informa em cada um dos casos abaixo: D>0 e f_{x x}(0,0)<0;
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudinho para ficar claro):
A função f(x,y) tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas em uma vizinhança da origem.
O ponto (0,0) é um ponto crítico, isto é, f_x(0,0)=0 e f_y(0,0)=0.
Foi definido o discriminante
D = f_{xx}(0,0)\, f_{yy}(0,0) - \bigl(f_{xy}(0,0)\bigr)^2.
A pergunta específica que vamos discutir é: o que o teste da segunda derivada nos informa quando D>0 e f_{xx}(0,0)<0?
Passo 2
Primeiro clarificar notação e escrever a matriz Hessiana no ponto. Vou chamar
A = f_{xx}(0,0),\qquad B = f_{xy}(0,0),\qquad C = f_{yy}(0,0).
A Hessiana em (0,0) é a matriz simétrica
H=\begin{pmatrix} A & B \\[4pt] B & C \end{pmatrix},
e o discriminante dado é exatamente o determinante dessa matriz:
D = \det H = AC - B^2.
O teste da segunda derivada usa a aproximação de Taylor de segunda ordem de f em torno da origem (já que as segundas derivadas são contínuas):
f(h,k) = f(0,0) + \underbrace{\frac{1}{2}\bigl(A h^2 + 2B h k + C k^2\bigr)}_{Q(h,k)} + o\bigl(h^2+k^2\bigr),
onde Q(h,k) é a forma quadrática associada à Hessiana e o(h^2+k^2) significa termos de ordem estritamente maior que h^2+k^2 quando (h,k)\to(0,0).]
Passo 3
Analisar as hipóteses D>0 e A<0.
Como D=AC-B^2>0, segue que AC> B^2. Em particular AC>0, o que implica que A e C têm o mesmo sinal.
Como foi dado A<0, deduzimos que C<0 também. Ou seja, as duas segundas derivadas segundas principais são negativas.
Esse sinal igual das segundas derivadas principais é a primeira pista: ambos negativos sugere que a forma quadrática Q(h,k) tende a ser negativa para vetores não nulos — isto é, Q é negativa definida. Vamos mostrar isso de modo explícito.
Passo 4
Mostrar que Q é negativa definida (isto é, Q(h,k)<0 para todo (h,k)\neq(0,0)).
Uma maneira direta é escrever Q completando quadrado. Observe:
Q(h,k)=\tfrac{1}{2}\bigl(A h^2 + 2B h k + C k^2\bigr) = \tfrac{1}{2}\Bigl(A\bigl(h + \tfrac{B}{A}k\bigr)^2 + \bigl(C - \tfrac{B^2}{A}\bigr) k^2\Bigr).
Agora note que A<0 e
C - \tfrac{B^2}{A} = \frac{AC - B^2}{A} = \frac{D}{A}.
Como D>0 e A<0, segue que \dfrac{D}{A}<0. Portanto ambos os coeficientes dentro dos parênteses multiplicando quadrados são negativos. Assim a soma é negativa sempre que (h,k)\neq(0,0). Concluímos que Q(h,k)<0 para todo (h,k)\neq(0,0): a forma quadrática é negativa definida.
(Se preferir uma justificativa mais geométrica: na esfera unidade u=(h,k)/\sqrt{h^2+k^2} a função contínua u^T H u atinge um máximo M, e por hipóteses esse máximo é negativo; então Q(h,k)=\tfrac{1}{2} (h^2+k^2)\,u^T H u \le \tfrac{1}{2} M (h^2+k^2) com M<0, o que dá a mesma conclusão.)
Passo 5
Ligar a negatividade de Q com o comportamento real de f próximo de (0,0).
Pela expansão de Taylor escrita no Passo 2, para (h,k) pequeno vale
f(h,k)-f(0,0) = Q(h,k) + o(h^2+k^2).
Como Q(h,k)\le -\alpha (h^2+k^2) para algum \alpha>0 (isso decorre do fato de Q ser negativa definida; ver comentário do Passo 4), existe uma constante \alpha>0 tal que, para todo (h,k) suficientemente pequeno,
Q(h,k) \le -\alpha (h^2+k^2).
O termo de menor ordem o(h^2+k^2) satisfaz: para (h,k) suficientemente pequeno, |o(h^2+k^2)| < \tfrac{\alpha}{2}(h^2+k^2). Juntando as duas desigualdades,
sempre que (h,k)\neq(0,0) e (h,k) estiver dentro de uma pequena bola em torno da origem. Portanto f(h,k)<f(0,0) para todos os pontos diferentes da origem nessa vizinhança — isto é, (0,0) é um máximo local estrito.
Passo 6
Intuição e exemplo simples para fixar a ideia.
Intuitivamente: a segunda ordem da aproximação domina perto do ponto crítico. Se essa aproximação quadrática é sempre negativa (negativa definida), então ao se mover um pouco do ponto crítico o valor da função cai — logo o ponto é um topo local (máximo). Um exemplo concreto: se f(x,y)=-x^2-y^2, temos A=-2, B=0, C=-2, então D = (-2)(-2)-0=4>0 e A<0; esse f tem máximo estrito em (0,0). Nosso caso é a versão geral e coordenada-invariante dessa situação.
Passo 7
Resumo prático (o que usar na prova): se em um ponto crítico (0,0) o discriminante D=\det H>0 e f_{xx}(0,0)<0, então a forma quadrática de segunda ordem é negativa definida, e portanto f tem um máximo local estrito em (0,0). Confia: isso vale porque o termo quadrático domina os termos de ordem maior quando se aproxima do ponto.