Considere a função f(x)=x^{2}-4
(a) Os zeros da função f.
(b) O vértice de f.
(c) A concavidade da função.
(d) O intervalo onde a função é crescente.
(e) O intervalo onde a função é decrescente.

Passo 1

O enunciado fornece a função quadrática
f(x)=x^{2}-4
e pede:
(a) os zeros de f,
(b) o vértice de f,
(c) a concavidade de f,
(d) o intervalo onde f é crescente,
(e) o intervalo onde f é decrescente.
O conteúdo envolve análise de parábolas: vamos usar resolução de equação quadrática para achar as raízes, a fórmula do vértice, o sinal do coeficiente principal para concavidade e a derivada para monotonia.

Passo 2

Para encontrar os zeros resolvemos
x^{2}-4=0\,.
Isso é uma diferença de quadrados, pois
x^{2}-4=(x-2)(x+2)\,,
logo as soluções são
x-2=0\implies x=2, \quad x+2=0\implies x=-2.

Passo 3

Para achar o vértice usamos que, em f(x)=ax^{2}+bx+c, tem-se
x_{v}=-\frac{b}{2a},\qquad y_{v}=f(x_{v}).
Aqui a=1 e b=0, então
x_{v}=-\frac{0}{2\cdot1}=0,
e
y_{v}=f(0)=0^{2}-4=-4.
Portanto o vértice é (0,-4).

Passo 4

A concavidade de uma parábola ax^{2}+bx+c é determinada pelo sinal de a. Como a=1>0, a parábola é côncava para cima.

Passo 5

Para os intervalos de monotonia calculamos a derivada
f'(x)=2x.
Observamos que
f'(x)<0\iff x<0, \quad f'(x)>0\iff x>0.
Logo f é decrescente para x<0 e crescente para x>0.

Resposta

(a) Os zeros são x=-2 e x=2.
(b) O vértice é (0,-4).
(c) A concavidade é para cima.
(d) f é crescente em (0,\infty).
(e) f é decrescente em (-\infty,0).

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