Considere a função f(x)=-x^{2}-x-2
(a) Os zeros da função f.
(b) O vértice de f.
(c) A concavidade da função.
(d) O intervalo onde a função é crescente.
(e) O intervalo onde a função é decrescente.

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática
f(x) = -x^{2} - x - 2
e pede: (a) os zeros; (b) o vértice; (c) a concavidade; (d) intervalo de crescimento; (e) intervalo de decrescimento.
Conteúdo: propriedades de funções quadráticas (fórmula de Bhaskara, vértice e derivada).

Passo 2

Para achar os zeros resolvemos
-x^{2} - x - 2 = 0.
Multiplicando por -1 fica
x^{2} + x + 2 = 0.
O discriminante é
\Delta = b^{2} - 4ac = 1 - 4\cdot1\cdot2 = -7 < 0,
logo não há raízes reais (as soluções são complexas \tfrac{-1\pm i\sqrt{7}}{2}).

Passo 3

O vértice de f(x)=ax^{2}+bx+c está em
x_{v} = -\frac{b}{2a} =\;-\frac{-1}{2\cdot(-1)} =-\tfrac12.
O valor y_{v}=f(x_{v}) é
y_{v} = -\bigl(-\tfrac12\bigr)^{2} -\bigl(-\tfrac12\bigr) -2 = -\tfrac14 + \tfrac12 -2 = -\tfrac74.

Passo 4

Como o coeficiente quadrático é a=-1<0, a parábola é côncava para baixo.

Passo 5

A derivada é
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-x^{2}-x-2\bigr) = -2x - 1.
Para crescimento precisamos de f'(x)>0:
-2x - 1 > 0 \;\Longrightarrow\; x < -\tfrac12.
Para decrescimento f'(x)<0:
-2x - 1 < 0 \;\Longrightarrow\; x > -\tfrac12.

Resposta

(a) Não tem zeros reais (raízes complexas \tfrac{-1\pm i\sqrt{7}}{2}).
(b) Vértice em \bigl(-\tfrac12,\,-\tfrac74\bigr).
(c) Côncava para baixo.
(d) Crescente em (-\infty,\,-\tfrac12).
(e) Decrescente em (-\tfrac12,\,+\infty).

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