Considere a função
f(z)=\operatorname{sen} x \operatorname{cosh} y+i \cos x \operatorname{senh} y
e marque as afirmativas verdadeiras entre as opções a seguir.
Escolha uma ou mais:
f é analítica para todos os valores de z, mas deixa de ser diferenciável em alguns valores de z.
f satisfaz as equações de Cauchy-Riemann para todos os valores de z.
f é diferenciável para todos os valores de z.
f é analítica para todos os valores de z.
f é diferenciável para todos os valores de z, mas deixa de ser analítica em alguns valores de z.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=\operatorname{sen} x \operatorname{cosh} y+i \cos x \operatorname{senh} y
e pede para marcar as afirmativas verdadeiras entre cinco opções (marcar uma ou mais). As informações relevantes que temos:
  • A variável complexa é z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}.
  • A função f está escrita em termos de x e y.
  • As cinco opções tratam de propriedades de diferenciabilidade e de analiticidade (holomorfia) de f.
O objetivo é decidir, com base nas informações acima, quais das opções são verdadeiras.

Passo 2

Primeiro escrevo f na forma real e imaginária: f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y). Identifico
u(x,y)=\sin x\operatorname{cosh} y, \qquad v(x,y)=\cos x\operatorname{sinh} y,
onde usei que \operatorname{sen}=\sin e \operatorname{senh}=\operatorname{sinh}. Agora calculo as derivadas parciais de u e v (passo a passo, sem pular etapas):
Calcule u_x (derivada de u em relação a x, tratando y como constante):
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(\sin x\operatorname{cosh} y)=\cos x\operatorname{cosh} y,
porque \frac{d}{dx}\sin x=\cos x e \operatorname{cosh} y é constante em relação a x.
Calcule u_y:
u_y=\frac{\partial}{\partial y}(\sin x\operatorname{cosh} y)=\sin x\,\operatorname{sinh} y,
pois \frac{d}{dy}\operatorname{cosh} y=\operatorname{sinh} y e \sin x é constante em relação a y.
Calcule v_x:
v_x=\frac{\partial}{\partial x}(\cos x\operatorname{sinh} y)=-\sin x\,\operatorname{sinh} y,
pois \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
Calcule v_y:
v_y=\frac{\partial}{\partial y}(\cos x\operatorname{sinh} y)=\cos x\operatorname{cosh} y.

Passo 3

Escrevo as equações de Cauchy-Riemann (CR) para u e v. As CR dizem que, em um ponto (x,y),
u_x=v_y \qquad\text{e}\qquad u_y=-v_x.
Substituo as derivadas que calculei:
Primeira equação:
u_x=\cos x\operatorname{cosh} y,\qquad v_y=\cos x\operatorname{cosh} y,
logo u_x=v_y é satisfeita para todos os x,y.
Segunda equação:
u_y=\sin x\,\operatorname{sinh} y,\qquad -v_x=-(-\sin x\,\operatorname{sinh} y)=\sin x\,\operatorname{sinh} y,
logo u_y=-v_x também é satisfeita para todos os x,y.
Portanto as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo \mathbb{R}^2 (ou seja, para todo z\in\mathbb{C}).

Passo 4

Agora uso um teorema padrão (vou explicar em linguagem simples): se u e v têm derivadas parciais contínuas numa região aberta e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann nessa região, então a função f=u+iv é complexamente diferenciável em cada ponto dessa região — e, na verdade, é holomorfa (analítica) nessa região. No nosso caso, u e v são combinações de \sin,\cos,\operatorname{sinh},\operatorname{cosh}, que são C^\infty (têm derivadas parciais contínuas de todas as ordens) em todo \mathbb{R}^2. Como as CR são satisfeitas em todo \mathbb{R}^2, concluímos que f é complexamente diferenciável em todo \mathbb{C} e é holomorfa (analítica) em todo \mathbb{C}.
Como observação adicional (útil para a prova): esta função coincide com a função seno complexo conhecida. Posso demonstrar a identidade clássica:
\sin z=\sin(x+iy)=\frac{e^{i(x+iy)}-e^{-i(x+iy)}}{2i}.
Desenvolvendo e^{i(x+iy)}=e^{ix-y}=e^{-y}(\cos x+i\sin x) e e^{-i(x+iy)}=e^{y}(\cos x-i\sin x), obtemos, após simplificar,
\sin(x+iy)=\sin x\operatorname{cosh} y+i\cos x\operatorname{sinh} y,
que é exatamente a forma dada para f. Como \sin z é uma função inteira (analítica para todo z\in\mathbb{C}), isso confirma novamente que f é analítica em toda a reta complexa.

Passo 5

Interpretação das opções (razões, sem repetir a marcação final):
  • A opção que diz que f satisfaz as equações de Cauchy-Riemann para todos os z é verdadeira (ver Passo 3).
  • A opção que afirma que f é diferenciável para todos os z é verdadeira, porque CR + derivadas contínuas implicam diferenciabilidade em todos os pontos (ver Passo 4).
  • A opção que afirma que f é analítica para todos os z é verdadeira, porque além de ser diferenciável em cada ponto de \mathbb{C}, as propriedades locais garantem que existe série (ou seja, holomorfia) — e também porque f(z)=\sin z, que é inteira.
  • As opções que tentam separar analiticidade e diferenciabilidade (por exemplo: analítica em todo lugar mas deixa de ser diferenciável em alguns pontos; ou diferenciável em todo lugar mas deixa de ser analítica em alguns pontos) são contraditórias no contexto padrão: uma função que é analítica em uma região é diferenciável em toda essa região; e aqui temos analiticidade em toda \mathbb{C}, então essas opções são falsas.

Resposta

Opções verdadeiras: 2, 3 e 4.

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