Considere a função
e marque as afirmativas verdadeiras entre as opções a seguir.
Escolha uma ou mais:
□
é analítica para todos os valores de
, mas deixa de ser diferenciável em alguns valores de
.
□
satisfaz as equações de Cauchy-Riemann para todos os valores de
.
□
é diferenciável para todos os valores de
.
□
é analítica para todos os valores de
.
□
é diferenciável para todos os valores de
, mas deixa de ser analítica em alguns valores de
.
Escolha uma ou mais:
□
□
□
□
□
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para marcar as afirmativas verdadeiras entre cinco opções (marcar uma ou mais). As informações relevantes que temos:
- A variável complexa é
com . - A função
está escrita em termos de e . - As cinco opções tratam de propriedades de diferenciabilidade e de analiticidade (holomorfia) de
.
O objetivo é decidir, com base nas informações acima, quais das opções são verdadeiras.
Passo 2
Primeiro escrevo
na forma real e imaginária:
. Identifico
onde usei que
e
. Agora calculo as derivadas parciais de
e
(passo a passo, sem pular etapas):
Calcule
(derivada de
em relação a
, tratando
como constante):
porque
e
é constante em relação a
.
Calcule
:
pois
e
é constante em relação a
.
Calcule
:
pois
.
Calcule
:
Passo 3
Escrevo as equações de Cauchy-Riemann (CR) para
e
. As CR dizem que, em um ponto
,
Substituo as derivadas que calculei:
Primeira equação:
logo
é satisfeita para todos os
.
Segunda equação:
logo
também é satisfeita para todos os
.
Portanto as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo
(ou seja, para todo
).
Passo 4
Agora uso um teorema padrão (vou explicar em linguagem simples): se
e
têm derivadas parciais contínuas numa região aberta e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann nessa região, então a função
é complexamente diferenciável em cada ponto dessa região — e, na verdade, é holomorfa (analítica) nessa região. No nosso caso,
e
são combinações de
, que são
(têm derivadas parciais contínuas de todas as ordens) em todo
. Como as CR são satisfeitas em todo
, concluímos que
é complexamente diferenciável em todo
e é holomorfa (analítica) em todo
.
Como observação adicional (útil para a prova): esta função coincide com a função seno complexo conhecida. Posso demonstrar a identidade clássica:
Desenvolvendo
e
, obtemos, após simplificar,
que é exatamente a forma dada para
. Como
é uma função inteira (analítica para todo
), isso confirma novamente que
é analítica em toda a reta complexa.
Passo 5
Interpretação das opções (razões, sem repetir a marcação final):
- A opção que diz que
satisfaz as equações de Cauchy-Riemann para todos os é verdadeira (ver Passo 3). - A opção que afirma que
é diferenciável para todos os é verdadeira, porque CR + derivadas contínuas implicam diferenciabilidade em todos os pontos (ver Passo 4). - A opção que afirma que
é analítica para todos os é verdadeira, porque além de ser diferenciável em cada ponto de , as propriedades locais garantem que existe série (ou seja, holomorfia) — e também porque , que é inteira. - As opções que tentam separar analiticidade e diferenciabilidade (por exemplo: analítica em todo lugar mas deixa de ser diferenciável em alguns pontos; ou diferenciável em todo lugar mas deixa de ser analítica em alguns pontos) são contraditórias no contexto padrão: uma função que é analítica em uma região é diferenciável em toda essa região; e aqui temos analiticidade em toda
, então essas opções são falsas.
Resposta
Opções verdadeiras:
,
e
.