Dados o cilindro
e o plano
,
(a) Encontre uma parametrização da curva
;
(b) Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva
no ponto
.
(a) Encontre uma parametrização da curva
(b) Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados:
- Cilindro
com equação . - Plano
com equação . - Ponto
que pertence à curva .
- Cilindro
-
O enunciado pede:
- (a) Encontrar uma parametrização da curva
que é a interseção do cilindro com o plano . - (b) Determinar as equações paramétricas da reta tangente à curva
no ponto .
- (a) Encontrar uma parametrização da curva
Passo 2
Estratégia (explicando a ideia sem resolver ainda):
- A equação do cilindro envolve apenas
e . Tipicamente parametrize curvas elípticas no plano usando funções trigonométricas: escrevemos e em função de um parâmetro de modo que seja identicamente verdadeira. - Depois que tivermos
e , obtemos impondo que o ponto esteja no plano , ou seja, substituímos na equação do plano e resolvemos para . - Para a reta tangente no ponto
, usamos a parametrização da curva . A derivada é um vetor tangente à curva; avaliando em tal que obtemos o vetor direção da reta tangente. A reta tangente é então mais múltiplos desse vetor direção.
Passo 3
Parametrizando o cilindro na projeção
:
- A equação do cilindro pode ser vista como uma elipse no plano
: Isso mostra que semi-eixo em é e em é . - Uma parametrização padrão da elipse é usar cosseno e seno:
com parâmetro . Vou explicar por que isto funciona: logo a escolha satisfaz a equação do cilindro para todo .
Passo 4
Encontrando
impondo o plano:
- Substituímos
e na equação do plano e isolamos : - Substituindo
e :
Passo 5
Escrevendo a parametrização completa da curva
:
- A parametrização da curva
fica, em forma vetorial, - Essa curva satisfaz simultaneamente as equações do cilindro e do plano, como verificado nos passos anteriores.
Passo 6
Identificando o parâmetro
correspondente ao ponto
:
- Queremos
. - Das primeiras duas coordenadas:
Essas igualdades são satisfeitas por
(ou
, etc.). Pegamos
.
- Verificação da terceira coordenada:
que coincide com a coordenada de . Assim corresponde mesmo ao ponto .
Passo 7
Calculando o vetor tangente
e o vetor direção no ponto
:
- Derivando componente a componente:
(Explicação rápida: derivada de é ; de é ; de é ; de é .) - Avaliando em
: Portanto um vetor direção da reta tangente em é .
Passo 8
Construindo a reta tangente no ponto
:
- A reta tangente em forma vetorial é
- Escrevendo as equações paramétricas (separadas):
- (Comentário útil: verifica-se que
está contido no plano porque o produto escalar com o vetor normal do plano é . Também é tangente ao cilindro porque é ortogonal ao gradiente da função avaliado em ; isto confirma que é uma direção tangente válida.)