Dados o cilindro S: 4 x^{2}+y^{2}=1 e o plano \pi: 4 x+4 y+z=16,
(a) Encontre uma parametrização da curva C=S \cap \pi;
(b) Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva C no ponto P=\left(\frac{1}{2}, 0,14\right).

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • Cilindro S com equação \,4x^{2}+y^{2}=1\,.
    • Plano \pi com equação \,4x+4y+z=16\,.
    • Ponto P=\left(\dfrac{1}{2},0,14\right) que pertence à curva C=S\cap\pi.
  • O enunciado pede:
    • (a) Encontrar uma parametrização da curva C que é a interseção do cilindro S com o plano \pi.
    • (b) Determinar as equações paramétricas da reta tangente à curva C no ponto P.

Passo 2

Estratégia (explicando a ideia sem resolver ainda):
  • A equação do cilindro envolve apenas x e y. Tipicamente parametrize curvas elípticas no plano xy usando funções trigonométricas: escrevemos x e y em função de um parâmetro t de modo que 4x^{2}+y^{2}=1 seja identicamente verdadeira.
  • Depois que tivermos x(t) e y(t), obtemos z(t) impondo que o ponto (x(t),y(t),z(t)) esteja no plano \pi, ou seja, substituímos x(t),y(t) na equação do plano e resolvemos para z(t).
  • Para a reta tangente no ponto P, usamos a parametrização da curva r(t). A derivada r'(t) é um vetor tangente à curva; avaliando em t tal que r(t)=P obtemos o vetor direção da reta tangente. A reta tangente é então P mais múltiplos desse vetor direção.

Passo 3

Parametrizando o cilindro na projeção xy:
  • A equação do cilindro pode ser vista como uma elipse no plano xy: 4x^{2}+y^{2}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^{2}}{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}+\frac{y^{2}}{1^{2}}=1.Isso mostra que semi-eixo em x é \tfrac{1}{2} e em y é 1.
  • Uma parametrização padrão da elipse é usar cosseno e seno: x(t)=\tfrac{1}{2}\cos t,\qquad y(t)=\sin t,com parâmetro t\in[0,2\pi). Vou explicar por que isto funciona: 4x(t)^{2}+y(t)^{2}=4\left(\tfrac{1}{2}\cos t\right)^{2}+(\sin t)^{2} =4\cdot\tfrac{1}{4}\cos^{2}t+\sin^{2}t=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1,logo a escolha satisfaz a equação do cilindro para todo t.

Passo 4

Encontrando z(t) impondo o plano:
  • Substituímos x(t) e y(t) na equação do plano \,4x+4y+z=16\, e isolamos z: z(t)=16-4x(t)-4y(t).
  • Substituindo x(t)=\tfrac{1}{2}\cos t e y(t)=\sin t: z(t)=16-4\cdot\left(\tfrac{1}{2}\cos t\right)-4\sin t =16-2\cos t-4\sin t.

Passo 5

Escrevendo a parametrização completa da curva C:
  • A parametrização da curva C=S\cap\pi fica, em forma vetorial, r(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) =\left(\tfrac{1}{2}\cos t,\\ \sin t,\\\ 16-2\cos t-4\sin t\right),\quad t\in[0,2\pi).
  • Essa curva satisfaz simultaneamente as equações do cilindro e do plano, como verificado nos passos anteriores.

Passo 6

Identificando o parâmetro t_{0} correspondente ao ponto P:
  • Queremos r(t_{0})=P=\left(\tfrac{1}{2},0,14\right).
  • Das primeiras duas coordenadas: x(t_{0})=\tfrac{1}{2}\cos t_{0}=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad \cos t_{0}=1,
y(t_{0})=\sin t_{0}=0.
Essas igualdades são satisfeitas por t_{0}=0 (ou 2\pi, etc.). Pegamos t_{0}=0.
  • Verificação da terceira coordenada: z(0)=16-2\cos 0-4\sin 0=16-2\cdot 1-4\cdot 0=14,que coincide com a coordenada z de P. Assim t_{0}=0 corresponde mesmo ao ponto P.

Passo 7

Calculando o vetor tangente \,r'(t)\, e o vetor direção no ponto P:
  • Derivando componente a componente: x'(t)=-\tfrac{1}{2}\sin t,\qquad y'(t)=\cos t,\qquad z'(t)=2\sin t-4\cos t.(Explicação rápida: derivada de \cos t é -\sin t; de \sin t é \cos t; de -2\cos t é 2\sin t; de -4\sin t é -4\cos t.)
  • Avaliando em t_{0}=0: r'(0)=\left(-\tfrac{1}{2}\sin 0,\\ \cos 0,\\\ 2\sin 0-4\cos 0\right) =\left(0,\\\ 1,\\\ -4\right).Portanto um vetor direção da reta tangente em P é v=(0,1,-4).

Passo 8

Construindo a reta tangente no ponto P:
  • A reta tangente em forma vetorial é \ell(s)=P+s\,v=\left(\tfrac{1}{2},0,14\right)+s\,(0,1,-4),\qquad s\in\mathbb{R}.
  • Escrevendo as equações paramétricas (separadas): x(s)=\tfrac{1}{2},\qquad y(s)=s,\qquad z(s)=14-4s.
  • (Comentário útil: verifica-se que v está contido no plano \pi porque o produto escalar com o vetor normal do plano n=(4,4,1) é n\cdot v=4\cdot 0+4\cdot 1+1\cdot(-4)=0. Também v é tangente ao cilindro porque é ortogonal ao gradiente da função F(x,y,z)=4x^{2}+y^{2}-1 avaliado em P; isto confirma que v é uma direção tangente válida.)

Resposta

r(t)=\displaystyle\left(\tfrac{1}{2}\cos t,\\ \sin t,\\\ 16-2\cos t-4\sin t\right),\quad t\in[0,2\pi)
x(s)=\tfrac{1}{2},\quad y(s)=s,\quad z(s)=14-4s,\quad s\in\mathbb{R}

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