Let polynomials p, q \in P_{2} such that p(t)=t^{2}-3 t and q(t)=4-t-t^{2}.
Moreover, define inner product \langle\cdot, \cdot\rangle on P_{2} as so: \langle p, q\rangle:=p(0) q(0)+p(1) q(1)+p(3) q(3
a. Compute inner product \langle p, q\rangle.
b. Are p(t) \& q(t) orthogonal?
c. Compute induced norms \|p\| and \|q\|.
d. Compute orthogonal projections \operatorname{proj}_{q} p and \operatorname{proj}_{p} q.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Polinômios:
    • p(t)=t^{2}-3t.
    • q(t)=4-t-t^{2}.
  • Produto interno definido em P_{2}: \langle f,g\rangle := f(0)g(0)+f(1)g(1)+f(3)g(3).
  • O enunciado pede:
    (a) calcular \langle p,q\rangle;
    (b) dizer se p e q são ortogonais (isto é, se \langle p,q\rangle=0);
    (c) calcular as normas induzidas \|p\| e \|q\|, onde \|f\|=\sqrt{\langle f,f\rangle};
    (d) calcular as projeções ortogonais \operatorname{proj}_{q}p e \operatorname{proj}_{p}q.

Passo 2

Primeiro, vou avaliar p e q nos pontos 0,1,3 porque o produto interno usa essas avaliações.
  • Avaliações de p: p(0)=0^{2}-3\cdot0=0,
p(1)=1^{2}-3\cdot1=1-3=-2,
p(3)=3^{2}-3\cdot3=9-9=0.
  • Avaliações de q: q(0)=4-0-0=4,
q(1)=4-1-1=2,
q(3)=4-3-9=4-12=-8.

Passo 3

Agora calculo o produto interno \langle p,q\rangle usando as avaliações obtidas:
\langle p,q\rangle = p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(3)q(3).
Substituindo:
\langle p,q\rangle = (0)\cdot(4)+(-2)\cdot(2)+(0)\cdot(-8)=0-4+0=-4.
Portanto \langle p,q\rangle=-4.

Passo 4

Com o valor de \langle p,q\rangle em mãos decido sobre ortogonalidade. Dois vetores (polinômios) são ortogonais se e somente se o produto interno entre eles for zero. Aqui:
\langle p,q\rangle=-4\neq 0,
logo p e q NÃO são ortogonais.

Passo 5

Agora calculo as normas induzidas. Lembre que \|f\|=\sqrt{\langle f,f\rangle} e que \langle f,f\rangle é a soma dos quadrados das avaliações nos pontos 0,1,3.
  • Para p: \langle p,p\rangle = p(0)^{2}+p(1)^{2}+p(3)^{2}=0^{2}+(-2)^{2}+0^{2}=4.Assim \|p\|=\sqrt{\langle p,p\rangle}=\sqrt{4}=2.
  • Para q: \langle q,q\rangle = q(0)^{2}+q(1)^{2}+q(3)^{2}=4^{2}+2^{2}+(-8)^{2}=16+4+64=84.Assim \|q\|=\sqrt{\langle q,q\rangle}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}.

Passo 6

Calculo agora as projeções ortogonais. Fórmula padrão: para vetores u,v com u\neq 0,
\operatorname{proj}_{u}v = \frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
  • Projeção de p sobre q:
    \operatorname{proj}_{q}p = \frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}\,q = \frac{-4}{84}\,q = -\frac{1}{21}\,q.
    Substituindo q(t)=4-t-t^{2}:
    \operatorname{proj}_{q}p(t) = -\frac{1}{21}\bigl(4-t-t^{2}\bigr) = -\frac{4}{21}+\frac{1}{21}t+\frac{1}{21}t^{2}.
  • Projeção de q sobre p:
    \operatorname{proj}_{p}q = \frac{\langle q,p\rangle}{\langle p,p\rangle}\,p.
    Note que \langle q,p\rangle=\langle p,q\rangle=-4 e \langle p,p\rangle=4, então
    \operatorname{proj}_{p}q = \frac{-4}{4}\,p = -1\cdot p = -p.
    Substituindo p(t)=t^{2}-3t:
    \operatorname{proj}_{p}q(t) = -(t^{2}-3t) = -t^{2}+3t.

Resposta

\langle p,q\rangle = -4
p e q não são ortogonais
\|p\|=2
\|q\|=2\sqrt{21}
\operatorname{proj}_{q}p(t) = -\dfrac{1}{21}\bigl(4-t-t^{2}\bigr) = -\dfrac{4}{21}+\dfrac{1}{21}t+\dfrac{1}{21}t^{2}
\operatorname{proj}_{p}q(t) = -\bigl(t^{2}-3t\bigr) = -t^{2}+3t

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