Let polynomials
such that
and
.
Moreover, define inner product
on
as so:
a. Compute inner product
.
b. Are
orthogonal?
c. Compute induced norms
and
.
d. Compute orthogonal projections
and
.
Moreover, define inner product
a. Compute inner product
b. Are
c. Compute induced norms
d. Compute orthogonal projections
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
- Polinômios:
-
. -
.
-
- Produto interno definido em
: - O enunciado pede:
(a) calcular;
(b) dizer see são ortogonais (isto é, se );
(c) calcular as normas induzidase , onde ;
(d) calcular as projeções ortogonaise .
Passo 2
Primeiro, vou avaliar
e
nos pontos
porque o produto interno usa essas avaliações.
- Avaliações de
:
- Avaliações de
:
Passo 3
Agora calculo o produto interno
usando as avaliações obtidas:
Substituindo:
Portanto
.
Passo 4
Com o valor de
em mãos decido sobre ortogonalidade. Dois vetores (polinômios) são ortogonais se e somente se o produto interno entre eles for zero. Aqui:
logo
e
NÃO são ortogonais.
Passo 5
Agora calculo as normas induzidas. Lembre que
e que
é a soma dos quadrados das avaliações nos pontos
.
- Para
: Assim - Para
: Assim
Passo 6
Calculo agora as projeções ortogonais. Fórmula padrão: para vetores
com
,
-
Projeção de
sobre : Substituindo: -
Projeção de
sobre : Note quee , então Substituindo: