Considere a função f(x, y)=4 x^{2}-2 y+1. Faça o que se pede:
a) Calcule f(-2,3).
b) Calcule o ponto de interseção com os eixos x, y e z.
c) Determine o valor de x para que o ponto ( x, 0,10 ) pertença à interseção do gráfico de f com o plano x z.
d) Determine o valor da função tal que o ponto ( 0,2, z ) pertence à interseção do gráfico de f com o plano y z
e) Determine o valor de y, tal que o ponto ( 4, y, 0 ) pertence à interseção do gráfico de f com o plano x y

Passo 1

O enunciado define a superfície z=f(x,y)=4x^2-2y+1. Vamos:
  • em (a) aplicar substituição direta;
  • em (b) achar interseções com os eixos resolvendo z=0 junto aos eixos;
  • em (c), (d) e (e) obter cortes da superfície pelos planos y=0, x=0 e z=0, respectivamente, e impor as coordenadas dadas.

Passo 2

(a) Basta substituir x=-2 e y=3 em f(x,y):
f(-2,3)=4(-2)^2-2\cdot3+1=4\cdot4-6+1=11.

Passo 3

(b) Interseções com os eixos (x,0,0), (0,y,0) e (0,0,z):
  • Eixo x: impondo y=0, z=0 em z=4x^2+1
4x^2+1=0\quad\Rightarrow\quad x^2=-\tfrac14\\ (\text{sem solução real}).çã
  • Eixo y: impondo x=0, z=0 em z=-2y+1
-2y+1=0\quad\Rightarrow\quad y=\tfrac12,
ponto (0,\tfrac12,0).
  • Eixo z: em x=0, y=0 temos
z=f(0,0)=1,
ponto (0,0,1).

Passo 4

(c) Corte com o plano y=0: z=4x^2+1. Para (x,0,10) impomos
10=4x^2+1\quad\Rightarrow\quad 4x^2=9\quad\Rightarrow\quad x^2=\tfrac94\quad\Rightarrow\quad x=\pm\tfrac32.

Passo 5

(d) Corte com o plano x=0: z=-2y+1. Para (0,2,z) obtemos
z=-2\cdot2+1=-3.

Passo 6

(e) Corte com o plano z=0: 0=4x^2-2y+1. Para (4,y,0) temos
4\cdot4^2-2y+1=0\quad\Rightarrow\quad 65-2y=0\quad\Rightarrow\quad y=\tfrac{65}{2}.

Resposta

(a) 11
(b) sem interseção real com o eixo x; (0,\tfrac12,0) no eixo y; (0,0,1) no eixo z
(c) x=\pm\tfrac32
(d) z=-3
(e) y=\tfrac{65}{2}

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