Determine as derivadas parciais das funções:
f(x, y)=\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y)=\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)
e pede as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}. Para isso, usaremos a regra da cadeia, lembrando que a derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u) e que a derivada de x^{2}+y^{2} é 2x em relação a x e 2y em relação a y.

Passo 2

Defina a função interna
u(x,y)=x^{2}+y^{2},
de modo que f(x,y)=\cos\bigl(u(x,y)\bigr). Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{d}{du}\cos(u)\,\frac{\partial u}{\partial x} =-\sin\bigl(u\bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}) =-\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\cdot 2x =-2x\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).

Passo 3

De forma análoga, para a derivada em relação a y, usamos
\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2}) =2y
e obtemos
\frac{\partial f}{\partial y} =-\sin\bigl(u\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial y} =-\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\cdot 2y =-2y\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).

Resposta

f_x(x,y)=-2x\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr), \quad f_y(x,y)=-2y\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).

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