Considere a função f(x)=\frac{200}{x}, x \in[10,50]. Resolva as seguintes questões:
a) Faça uma estimativa da área sob o gráfico de f, dividindo o intervalo em 4 sub-intervalos de comprimento 10;
b) Determine a área real procurada;
c) Determine o erro percentual da estimativa feita no item a).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{200}{x},\quad x\in[10,50],
e pede:
a) uma estimativa da área sob f dividindo [10,50] em 4 sub‐intervalos de comprimento 10;
b) a área exata \displaystyle\int_{10}^{50}f(x)\,dx;
c) o erro percentual da estimativa do item a).

Passo 2

Para a estimativa usamos a soma de Riemann à esquerda com \Delta x=10 e sub‐intervalos
[10,20], [20,30], [30,40], [40,50]. Os pontos à esquerda são x_0=10, x_1=20, x_2=30, x_3=40, e
f(10)=20,\quad f(20)=10,\quad f(30)=\frac{200}{30}=\frac{20}{3},\quad f(40)=5.
A soma de Riemann é
A_{\text{est}}=\sum_{i=0}^{3}f(x_i)\,\Delta x =\Bigl(20+10+\tfrac{20}{3}+5\Bigr)\times10 =\frac{1250}{3}.

Passo 3

Para a área exata calculamos a integral
\int_{10}^{50}\frac{200}{x}\,dx =200\bigl[\ln x\bigr]_{10}^{50} =200\bigl(\ln50-\ln10\bigr) =200\ln5.

Passo 4

O erro percentual (absoluto) da estimativa é
\text{erro}\%=\left|\frac{A_{\text{est}}-A_{\text{exata}}} {A_{\text{exata}}}\right|\times100\% =\left|\frac{\frac{1250}{3}-200\ln5}{200\ln5}\right|\times100\%.

Resposta

a) A_{\text{est}}=\displaystyle\frac{1250}{3}\approx416{,}67.
b) A_{\text{exata}}=200\ln5\approx321{,}89.
c) \text{erro}\%\approx29{,}45\%.

Exercícios relacionados