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Considere a função f(x, y)=x^{2}+\frac{y^{2}}{2}-x^{3} e o conjunto compacto
D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} .
(a) Encontre os pontos críticos de f no interior de D.
(b) Encontre os candidatos a extremo de f na fronteira de D.
(c) Determine os valores extremos globais de f em D.
(d) Escreva o problema no formato KKT, se possível.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos da função
f(x,y)=x^{2}+\frac{y^{2}}{2}-x^{3}
no disco compacto
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^{2}+y^{2}\le1\}.
Os passos são:
  1. achar pontos críticos no interior de D via \nabla f=0;
  2. achar candidatos na fronteira \,x^2+y^2=1 via multiplicadores de Lagrange;
  3. comparar valores de f nesses pontos para determinar mínimos e máximos globais;
  4. escrever as condições KKT.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
f_x=2x-3x^2,\quad f_y=y.
No interior de D requeremos
2x-3x^2=0,\quad y=0,
daí x(2-3x)=0 dá x=0 ou x=\tfrac23. Como y=0, os críticos internos são
(0,0)\quad\text{e}\quad\Bigl(\tfrac23,0\Bigr),
ambos com x^2+y^2<1.

Passo 3

Na fronteira g(x,y)=x^2+y^2-1=0 usamos Lagrange:
\nabla f = \lambda\nabla g \;\Rightarrow\; (2x-3x^2,\;y) =\lambda(2x,2y).
Isso gera o sistema
2x-3x^2=2\lambda x, \quad y=2\lambda y, \quad x^2+y^2=1.
De y=2\lambda y vêm dois casos:
  1. y=0. Então x^2=1, ou seja (x,y)=(1,0) e (-1,0).
  2. \lambda=\tfrac12. Substituindo em 2x-3x^2=2\lambda x dá
2x-3x^2=x \;\Longrightarrow\; x(1-3x)=0 \;\Longrightarrow\; x=0\text{ ou }x=\tfrac13.
— Se x=0, então y^2=1, gerando (0,1) e (0,-1).
— Se x=\tfrac13, então y^2=1-\tfrac1{9}=\tfrac8{9}, gerando
\bigl(\tfrac13,\pm\tfrac{2\sqrt2}{3}\bigr).
Logo, os candidatos na fronteira são
(1,0),\;(-1,0),\;(0,1),\;(0,-1),\;\bigl(\tfrac13,\pm\tfrac{2\sqrt2}{3}\bigr).

Passo 4

Avaliamo-os f em todos os pontos:
— Em (0,0):
f=0+0-0=0.
— Em \bigl(\tfrac23,0\bigr):
f=\Bigl(\tfrac23\Bigr)^2- \Bigl(\tfrac23\Bigr)^3 =\tfrac{4}{9}-\tfrac{8}{27} =\tfrac{12-8}{27} =\tfrac{4}{27}\approx0,148.
— Em (1,0):
f=1+0-1=0.
— Em (-1,0):
f=1+0-(-1)=2.
— Em (0,\pm1):
f=0+\tfrac{1}{2}-0=\tfrac12.
— Em \bigl(\tfrac13,\pm\tfrac{2\sqrt2}{3}\bigr):
f=\tfrac{1}{9}+\frac{1}{2}\cdot\tfrac{8}{9}-\tfrac{1}{27} =\tfrac{3+12-1}{27} =\tfrac{14}{27}\approx0,519.
Comparando, o valor máximo é 2 em (-1,0) e o mínimo é 0, atingido em (0,0) e em (1,0).

Passo 5

Escrevendo KKT para minimizar f sob g(x,y)=x^2+y^2-1\le0:
Lagrangiana
L(x,y,\lambda) =f(x,y)+\lambda\,g(x,y),
estacionariedade
\frac{\partial L}{\partial x} =2x-3x^2+2\lambda x=0, \quad \frac{\partial L}{\partial y} =y+2\lambda y=0,
viabilidade primal e dual
x^2+y^2-1\le0,\quad \lambda\ge0,
complementaridade
\lambda\,(x^2+y^2-1)=0.

Resposta

(a) Pontos críticos internos: (0,0) e \bigl(\tfrac23,0\bigr).
(b) Candidatos na fronteira:
(1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1), \bigl(\tfrac13,\pm\tfrac{2\sqrt2}{3}\bigr).
(c) Mínimo global f_{\min}=0 em (0,0) e (1,0); máximo global f_{\max}=2 em (-1,0).
(d) KKT:
L=f+\lambda(x^2+y^2-1), \quad \nabla_xL=0,\;\nabla_yL=0, \quad x^2+y^2-1\le0,\;\lambda\ge0,\;\lambda(x^2+y^2-1)=0.

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