Considere a função

$f(x, y, z)=\ln (x+y+z+4)$

e a região $\mathcal{R}$ do espaço definida por $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1$ .
(a) Justifique que a função atinge um valor máximo e um mínimo na região.
(b) Ache os valores máximo e mínimo de $f$ na região $\mathcal{R}$ .
(c) Escreva o problema no formato KKT, se possível.

O enunciado dá a função

f(x,y,z)=\ln(x+y+z+4)

definida na região fechada e limitada

\mathcal{R}=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le1\}.

Pedese: (a) justificar existência de máximo e mínimo; (b) encontrálos; (c) escrever o problema no formato KKT.

A função

\ln

é contínua em seu domínio, e o argumento

x+y+z+4

é sempre positivo em

\mathcal{R}

pois

x+y+z\ge -\sqrt{3}\quad\Rightarrow\quad x+y+z+4\ge 4-\sqrt3>0.

Além disso,

\mathcal{R}

é compacto (fechado e limitado). Pelo Teorema de Weierstrass,

f

atinge valores máximo e mínimo em

\mathcal{R}

Como

\ln

é estritamente crescente, maximizar ou minimizar

f

equivale a maximizar ou minimizar

S=x+y+z

sujeito a

x^{2}+y^{2}+z^{2}\le1

Para

S

temos, por Desigualdade de Cauchy–Schwarz,

S\le\sqrt{1+1+1}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\le\sqrt{3}\cdot1=\sqrt{3},

com igualdade quando

(x,y,z)

é paralelo a

(1,1,1)

, i.e.\

x=y=z=1/\sqrt3

. Analogamente

S\ge -\sqrt{3},

com igualdade em

x=y=z=-1/\sqrt3

.
Logo

f_{\max}=\ln\bigl(4+\sqrt{3}\bigr), \quad f_{\min}=\ln\bigl(4-\sqrt{3}\bigr).

Colocando como problema de otimização com KKT, definimos a restrição

g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1\le0.

O Lagrangiano é

\mathcal{L}(x,y,z,\lambda) =\ln(x+y+z+4)-\lambda\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1\bigr),

e as condições KKT exigem

\begin{cases} \nabla_{x,y,z}\mathcal{L}=0\quad\text{(estacionaridade)},\\\ \lambda\ge0,\\\ g(x,y,z)\le0,\\\ \lambda\,g(x,y,z)=0\quad\text{(comp. slackness)}. \end{cases}

Da estacionaridade vem

\frac1{x+y+z+4}(1,1,1)=2\lambda\,(x,y,z),

o que implica

x=y=z

, recuperando os pontos

\pm(1,1,1)/\sqrt3

O valor máximo é

\ln(4+\sqrt{3})

e o valor mínimo é

\ln(4-\sqrt{3})

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