Seja $f(x, y)=x^{2}+\frac{x^{3}}{3}+4 y^{2}$ . Determine os valores extremos de $f$ em

$D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+4 y^{2} \leq 5\right\} .$

O enunciado pede os extremos (mínimo e máximo) da função

f(x,y)=x^{2}+\tfrac{x^{3}}{3}+4y^{2}

no domínio fechado e limitado

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^{2}+4y^{2}\le5\}.

O conteúdo é otimização com restrição de desigualdade: vamos primeiro achar pontos críticos no interior de

D

resolvendo

\nabla f=0

, e depois analisar o contorno

x^{2}+4y^{2}=5

, reduzindo o problema a uma variável.

Calculemos o gradiente e as soluções de

\nabla f=0

f_x=2x+x^{2},\qquad f_y=8y.

Igualando a zero:

2x+x^{2}=0\;\Longrightarrow\;x(2+x)=0\;\Longrightarrow\;x=0\text{ ou }x=-2,

8y=0\;\Longrightarrow\;y=0.

Portanto, há dois críticos no interior:

(0,0)

(-2,0)

, ambos satisfazem

x^{2}+4y^{2}\le5

. Avaliando

f

f(0,0)=0, \qquad f(-2,0)=(-2)^{2}+\tfrac{(-2)^{3}}{3}=4-\tfrac{8}{3}=\tfrac{4}{3}.

No contorno temos

x^{2}+4y^{2}=5

. Disso segue

4y^{2}=5-x^{2},

f(x,y)=x^{2}+\tfrac{x^{3}}{3}+4y^{2} = x^{2}+\tfrac{x^{3}}{3}+(5-x^{2}) =5+\tfrac{x^{3}}{3}.

Como

x^{2}+4y^{2}=5

obriga

x\in[-\sqrt5,\sqrt5]

, definimos

g(x)=5+\tfrac{x^{3}}{3},\quad x\in[-\sqrt5,\sqrt5].

Derivando e procurando extremos de

g

g'(x)=x^{2},

g'(x)=0\;\Longrightarrow\;x=0.

Além disso, verificamos também as extremidades

x=\pm\sqrt5

. Os pontos candidatos no contorno são:

(x,y)=(0,\pm\sqrt{5/4}),\quad(\sqrt5,0),\;(-\sqrt5,0).

Avaliações:

f(0,\pm\sqrt{5/4})=5+\tfrac{0^{3}}{3}=5,

f(\sqrt5,0)=5+\tfrac{(\sqrt5)^{3}}{3} =5+\tfrac{5\sqrt5}{3},

f(-\sqrt5,0)=5+\tfrac{(-\sqrt5)^{3}}{3} =5-\tfrac{5\sqrt5}{3}.

Reunindo todos os valores de

f

nos pontos críticos internos e no contorno:

f(0,0)=0,\quad f(-2,0)=\tfrac{4}{3},\quad f\bigl(-\sqrt5,0\bigr)=5-\tfrac{5\sqrt5}{3},\quad f(0,\pm\sqrt{5/4})=5,\quad f\bigl(\sqrt5,0\bigr)=5+\tfrac{5\sqrt5}{3}.

Comparemos numericamente:

5-\tfrac{5\sqrt5}{3}\approx1{,}27,\quad \tfrac{4}{3}\approx1{,}33,\quad 5,\quad 5+\tfrac{5\sqrt5}{3}\approx8{,}73.

O menor valor de

f

\min_{D}f = 0

(0,0)

.
O maior valor de

f

\max_{D}f = 5+\tfrac{5\sqrt5}{3}

\bigl(\sqrt5,\,0\bigr)

O valor mínimo de

f

D

\displaystyle0

(0,0)

.
O valor máximo de

f

D

\displaystyle5+\tfrac{5\sqrt5}{3}

\bigl(\sqrt5,0\bigr)

Seja f(x, y)=x^{2}+\frac{x^{3}}{3}+4 y^{2}. Determine os valores extremos de f em D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+4 y^{2} \leq 5\right\} .