Considere a função
, calcule o valor de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para calcular o valor de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função integranda é
. - O integral é definido com limite inferior
e limite superior . - Queremos o valor específico quando
.
Passo 2
Vamos lembrar uma fórmula básica de integração (aquela que sempre salva a gente em provas): para qualquer número real
diferente de
,
onde
é a constante de integração. Aqui:
-
é a variável de integração, -
é o expoente (no nosso caso ), - o resultado é uma função cuja derivada volta a ser
.
Aplicando essa fórmula ao nosso integrando
, obtemos uma antiderivada (ou primitiva):
Isso significa que
.
Passo 3
Usamos agora o Teorema Fundamental do Cálculo (parte que diz como transformar uma antiderivada em um integral definido): se
é uma antiderivada de
, então
No nosso caso
,
e
. Tomando
(podemos escolher
porque em diferenças ela se cancela), obtemos:
Observação importante: essa expressão vale para qualquer
real, inclusive
. Não há problema em
.
Passo 4
Agora avalio a expressão encontrada em
. Substituindo
em
:
Alternativa (intuição extra): como o integral original é
, pode-se trocar os limites mudando o sinal:
Mas
é função par (mesmo para
negativo tem o mesmo valor que para
positivo), então
. Logo o integral original vale
, igual ao resultado acima.