Considere a função G(t)=\int_{0}^{t} x^{2} d x, calcule o valor de G(-1)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
G(t)=\int_{0}^{t} x^{2}\,dx,
e pede para calcular o valor de G(-1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função integranda é x^{2}.
  • O integral é definido com limite inferior 0 e limite superior t.
  • Queremos o valor específico quando t=-1.

Passo 2

Vamos lembrar uma fórmula básica de integração (aquela que sempre salva a gente em provas): para qualquer número real n diferente de -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui:
  • x é a variável de integração,
  • n é o expoente (no nosso caso n=2),
  • o resultado é uma função cuja derivada volta a ser x^{n}.
Aplicando essa fórmula ao nosso integrando x^{2}, obtemos uma antiderivada (ou primitiva):
F(x)=\frac{x^{3}}{3}+C.
Isso significa que F'(x)=x^{2}.

Passo 3

Usamos agora o Teorema Fundamental do Cálculo (parte que diz como transformar uma antiderivada em um integral definido): se F é uma antiderivada de f, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
No nosso caso f(x)=x^{2}, a=0 e b=t. Tomando F(x)=\dfrac{x^{3}}{3} (podemos escolher C=0 porque em diferenças ela se cancela), obtemos:
G(t)=\int_{0}^{t} x^{2}\,dx = \frac{t^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3} = \frac{t^{3}}{3}.
Observação importante: essa expressão vale para qualquer t real, inclusive t<0. Não há problema em t=-1.

Passo 4

Agora avalio a expressão encontrada em t=-1. Substituindo t=-1 em \dfrac{t^{3}}{3}:
\frac{(-1)^{3}}{3}=\frac{-1}{3}.
Alternativa (intuição extra): como o integral original é \int_{0}^{-1} x^{2}\,dx, pode-se trocar os limites mudando o sinal:
\int_{0}^{-1} x^{2}\,dx = -\int_{-1}^{0} x^{2}\,dx.
Mas x^{2} é função par (mesmo para x negativo tem o mesmo valor que para x positivo), então \int_{-1}^{0} x^{2}\,dx = \int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \dfrac{1^{3}}{3}=\dfrac{1}{3}. Logo o integral original vale -\dfrac{1}{3}, igual ao resultado acima.

Resposta

-\dfrac{1}{3}

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