Calcule as integrais definidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações relevantes dadas:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
. - Observação importante: o denominador
é zero em , e pertence ao intervalo de integração, portanto a integral é imprópria (há uma descontinuidade infinita em ).
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão algébrica do integrando, fazendo a divisão termo a termo por
:
Nota: mesmo que a forma simplificada seja
, a função original não está definida em
— isso confirma a necessidade de tratar a integral como imprópria.
Passo 3
Como há singularidade em
, escrevemos a integral como soma de duas integrais próprias por limites:
Regra: a integral imprópria converge (tem valor finito) somente se ambos os limites à esquerda e à direita existirem e forem finitos. Se pelo menos um divergir, a integral total diverge.
Passo 4
Calculamos a primitiva (antiderivada) de
. Sabendo que
, temos
Passo 5
Avaliaremos o limite do lado direito (de
para
). Para
,
Agora tomamos
. Como
, segue que
Portanto a integral do lado direito diverge para
.
Passo 6
Podemos verificar o lado esquerdo (de
até
) — para
negativo com
,
Ao tomar
, nota-se que
, então
Portanto a integral do lado esquerdo também diverge para
.
Observação alternativa (curta): a função
é par; basta notar que a integral de
perto de
se comporta como
(caso
-integral com
), que diverge. Logo a integral em
não é finita.
Passo 7
Como pelo menos uma (na verdade as duas) das integrais laterais diverge (tendem a
), a integral imprópria original não converge. Concluímos que o valor da integral não existe como número finito; ela diverge para
.
Resposta
A integral é imprópria e diverge para
.