Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{-1}^{1}\left(\frac{x^{3}-x}{x^{3}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{1}\left(\frac{x^{3}-x}{x^{3}}\right)\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função integranda é \dfrac{x^{3}-x}{x^{3}}.
  • O intervalo de integração é [-1,1].
  • Observação importante: o denominador x^{3} é zero em x=0, e 0 pertence ao intervalo de integração, portanto a integral é imprópria (há uma descontinuidade infinita em x=0).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão algébrica do integrando, fazendo a divisão termo a termo por x^{3}:
\frac{x^{3}-x}{x^{3}}=\frac{x^{3}}{x^{3}}-\frac{x}{x^{3}}=1-\frac{1}{x^{2}}.
Nota: mesmo que a forma simplificada seja 1-\dfrac{1}{x^{2}}, a função original não está definida em x=0 — isso confirma a necessidade de tratar a integral como imprópria.

Passo 3

Como há singularidade em x=0, escrevemos a integral como soma de duas integrais próprias por limites:
\int_{-1}^{1}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx = \lim_{a\to 0^-}\int_{-1}^{a}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx + \lim_{b\to 0^+}\int_{b}^{1}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx.
Regra: a integral imprópria converge (tem valor finito) somente se ambos os limites à esquerda e à direita existirem e forem finitos. Se pelo menos um divergir, a integral total diverge.

Passo 4

Calculamos a primitiva (antiderivada) de 1-\dfrac{1}{x^{2}}. Sabendo que \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{1}{x^{2}}, temos
\int\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx = x+\frac{1}{x}+C.

Passo 5

Avaliaremos o limite do lado direito (de 0 para 1). Para 0<b<1,
\int_{b}^{1}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx = \left[x+\frac{1}{x}\right]_{b}^{1} = \left(1+\frac{1}{1}\right)-\left(b+\frac{1}{b}\right) = 2-b-\frac{1}{b}.
Agora tomamos b\to 0^{+}. Como \dfrac{1}{b}\to +\infty, segue que
\lim_{b\to 0^{+}}\left(2-b-\frac{1}{b}\right)=-\infty.
Portanto a integral do lado direito diverge para -\infty.

Passo 6

Podemos verificar o lado esquerdo (de -1 até 0) — para a negativo com -1<a<0,
\int_{-1}^{a}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx = \left[x+\frac{1}{x}\right]_{-1}^{a} = \left(a+\frac{1}{a}\right)-\left(-1+\frac{1}{-1}\right) = a+\frac{1}{a}+2.
Ao tomar a\to 0^{-}, nota-se que \dfrac{1}{a}\to -\infty, então
\lim_{a\to 0^{-}}\left(a+\frac{1}{a}+2\right)=-\infty.
Portanto a integral do lado esquerdo também diverge para -\infty.
Observação alternativa (curta): a função 1-\dfrac{1}{x^{2}} é par; basta notar que a integral de 1/x^{2} perto de 0 se comporta como \int_{0}^{\varepsilon}\!x^{-2}dx (caso p-integral com p=2), que diverge. Logo a integral em [-1,1] não é finita.

Passo 7

Como pelo menos uma (na verdade as duas) das integrais laterais diverge (tendem a -\infty), a integral imprópria original não converge. Concluímos que o valor da integral não existe como número finito; ela diverge para -\infty.

Resposta

A integral é imprópria e diverge para -\infty.

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