Considere a função
. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento de
. Informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar:
Portanto, a integral é bem definida sempre que
(pois o intervalo entre
e
fica contido em
). Assim o domínio natural de
é
.
Passo 2
Vamos obter a derivada de
. Vou usar um resultado fundamental que você deve decorar: se
com
contínua em torno de
, então
Esse é o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1). Aqui
. Note que
é contínua em todo o intervalo
. Logo
é diferenciável em
e
Passo 3
Lembrete didático sobre monotonicidade: se uma função
é diferenciável em um intervalo e
para todo
nesse intervalo, então
é crescente nesse intervalo. Se
para todo
no intervalo, então
é decrescente. A ideia intuitiva é que a derivada mede a inclinação local da função; sinal positivo = sobe, sinal negativo = desce.
Aplicamos isso com
e
.
Passo 4
Determinar onde
. Resolvemos a desigualdade
A função logarítmica natural satisfaz
exatamente quando
. Aqui
. Portanto
Logo
para todo
, e isto implica que
é crescente em
.
Passo 5
Determinar onde
. Resolvemos
Isto ocorre exatamente quando
, ou seja
Portanto
para todo
, e assim
é decrescente em
.
Passo 6
Verificação extra (útil para prova): podemos calcular
explicitamente por integração por partes para conferir a derivada. Tomando
e
obtemos
e
. Assim
Reescrevendo
obtemos
Juntando termos:
Aplicando os limites de
a
(e observando que
) dá
Derivando esta expressão por regra do produto e soma:
o que confirma o resultado do Passo 2.
Passo 7
Conclusão final e comentários rápidos: o ponto
é o único ponto crítico em
onde
. Para
(mas
) a derivada é negativa, para
a derivada é positiva. Portanto
muda de decrescente para crescente em
(mínimo relativo).