Considere a função g(x)=\int_{0}^{x} \ln (t+1) d t. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de g(x).

Passo 1

O enunciado define a função
g(x)=\int_{0}^{x}\ln(t+1)\,dt
e pede para determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento de g. Informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar:
\text{(i) }g\text{ é dada por uma integral da função }t\mapsto\ln(t+1).éçã
\text{(ii) A função }t\mapsto\ln(t+1)\text{ está definida se, e somente se, }t>-1.çãá
Portanto, a integral é bem definida sempre que x>-1 (pois o intervalo entre 0 e x fica contido em (-1,\infty)). Assim o domínio natural de g é (-1,\infty).

Passo 2

Vamos obter a derivada de g. Vou usar um resultado fundamental que você deve decorar: se F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt com f contínua em torno de x, então
F'(x)=f(x).
Esse é o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1). Aqui f(t)=\ln(t+1). Note que \ln(t+1) é contínua em todo o intervalo (-1,\infty). Logo g é diferenciável em (-1,\infty) e
g'(x)=\ln(x+1)\quad\text{para todo }x\in(-1,\infty).

Passo 3

Lembrete didático sobre monotonicidade: se uma função h é diferenciável em um intervalo e h'(x)>0 para todo x nesse intervalo, então h é crescente nesse intervalo. Se h'(x)<0 para todo x no intervalo, então h é decrescente. A ideia intuitiva é que a derivada mede a inclinação local da função; sinal positivo = sobe, sinal negativo = desce.
Aplicamos isso com h=g e h'(x)=g'(x)=\ln(x+1).

Passo 4

Determinar onde g'(x)>0. Resolvemos a desigualdade
\ln(x+1)>0.
A função logarítmica natural satisfaz \ln(y)>0 exatamente quando y>1. Aqui y=x+1. Portanto
x+1>1 \iff x>0.
Logo g'(x)>0 para todo x\in(0,\infty), e isto implica que g é crescente em (0,\infty).

Passo 5

Determinar onde g'(x)<0. Resolvemos
\ln(x+1)<0.
Isto ocorre exatamente quando 0<x+1<1, ou seja
-1<x<0.
Portanto g'(x)<0 para todo x\in(-1,0), e assim g é decrescente em (-1,0).

Passo 6

Verificação extra (útil para prova): podemos calcular g(x) explicitamente por integração por partes para conferir a derivada. Tomando u=\ln(t+1) e dv=dt obtemos du=\dfrac{1}{t+1}\,dt e v=t. Assim
\int \ln(t+1)\,dt = t\ln(t+1)-\int \frac{t}{t+1}\,dt.
Reescrevendo \dfrac{t}{t+1}=1-\dfrac{1}{t+1} obtemos
\int \ln(t+1)\,dt = t\ln(t+1)-\int\left(1-\frac{1}{t+1}\right)\,dt = t\ln(t+1)-t+\ln(t+1)+C.
Juntando termos:
\int \ln(t+1)\,dt=(t+1)\ln(t+1)-t + C.
Aplicando os limites de 0 a x (e observando que (0+1)\ln(1)-0=0) dá
g(x)=(x+1)\ln(x+1)-x.
Derivando esta expressão por regra do produto e soma:
g'(x)=\frac{d}{dx}\big[(x+1)\ln(x+1)-x\big] =\ln(x+1)+(x+1)\cdot\frac{1}{x+1}-1 =\ln(x+1),
o que confirma o resultado do Passo 2.

Passo 7

Conclusão final e comentários rápidos: o ponto x=0 é o único ponto crítico em (-1,\infty) onde g'(0)=0. Para x<0 (mas > -1) a derivada é negativa, para x>0 a derivada é positiva. Portanto g muda de decrescente para crescente em x=0 (mínimo relativo).

Resposta

g é crescente em (0,\infty).
g é decrescente em (-1,0).

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